1. (Continuação do Exercício 34.) Encontre uma equação cartesiana para o plano tangente ao hiperboloide x^{2}+y^{2}-z^{2}=25 no ponto ( x_{0}, y_{0}, 0 ), onde x_{0}{ }^{2}+y_{0}{ }^{2}=25.

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano tangente ao hiperboloide definido implicitamente por
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}-25=0
no ponto (x_{0},y_{0},0), em que x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=25. Para isso, vamos usar gradientes e a fórmula do plano tangente a uma superfície implícita.

Passo 2

Calculamos o gradiente de F, que reúne as derivadas parciais de F:
\nabla F(x,y,z)=\bigl(\partial_{x}F,\partial_{y}F,\partial_{z}F\bigr) =\bigl(2x,\,2y,\,-2z\bigr).

Passo 3

Avaliamo-lo no ponto (x_{0},y_{0},0):
\nabla F(x_{0},y_{0},0)=(2x_{0},\,2y_{0},\,0).

Passo 4

A equação geral do plano tangente à superfície F=0 em P_{0}=(x_{0},y_{0},0) é
\nabla F(P_{0})\cdot\bigl(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-0\bigr)=0.
Substituindo \nabla F(P_{0})=(2x_{0},2y_{0},0) obtemos
2x_{0}(x-x_{0})+2y_{0}(y-y_{0})+0\cdot z=0.

Passo 5

Expandindo e usando x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=25, temos
2x_{0}x-2x_{0}^{2}+2y_{0}y-2y_{0}^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x_{0}x+2y_{0}y=2\bigl(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\bigr)=50,
logo a forma final é
x_{0}\,x+y_{0}\,y=25.

Resposta

A equação do plano tangente é
x_{0}\,x+y_{0}\,y=25.

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