1. Integre G(x, y, z)=x \sqrt{y^{2}+4} sobre a superfície cortada do cilindro parabólico y^{2}+4 z=16 pelos planos x=0, x=1 \mathrm{e} z=0.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de superfície
\iint_{S}G(x,y,z)\,dS,
onde G(x,y,z)=x\sqrt{y^{2}+4} e S é a parte da superfície definida por
y^{2}+4z=16
limitada pelos planos x=0, x=1 e z=0.
O conteúdo da matéria é integral de superfície de função escalar, que iremos resolver parametrizando S e usando a fórmula
dS=\sqrt{1+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial x}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigr)^{2}}\;dx\,dy.

Passo 2

Como a equação da superfície não envolve x\), podemos parametrizá-la por \[\begin{cases} x=u,\\\ y=v,\\\ z=\frac{16-v^{2}}{4}, \end{cases}
onde 0\le u\le1\] e, para \(z\ge0, tem-se v^{2}\le16, ou seja -4\le v\le4.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de z:
\frac{\partial z}{\partial u}=0, \qquad \frac{\partial z}{\partial v}=-\frac{2v}{4}=-\frac{v}{2}.
Logo
dS =\sqrt{1+0^{2}+\Bigl(-\tfrac{v}{2}\Bigr)^{2}}\;du\,dv =\sqrt{1+\frac{v^{2}}{4}}\;du\,dv =\frac{\sqrt{v^{2}+4}}{2}\;du\,dv.

Passo 4

Na parametrização, G(x,y,z)=u\sqrt{v^{2}+4}. Assim, o integrando fica
G\,dS =u\sqrt{v^{2}+4}\;\frac{\sqrt{v^{2}+4}}{2}\;du\,dv =\frac{u\,(v^{2}+4)}{2}\;du\,dv.
A região de integração em (u,v) é o retângulo 0\le u\le1,\,-4\le v\le4.

Passo 5

Montamos a integral dupla:
\iint_{S}G\,dS =\int_{u=0}^{1}\int_{v=-4}^{4}\frac{u\,(v^{2}+4)}{2}\;dv\,du =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}u\,du\;\int_{-4}^{4}(v^{2}+4)\,dv.
Calculemos cada parte:
\int_{0}^{1}u\,du=\Bigl[\tfrac{u^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1}=\frac{1}{2},
\int_{-4}^{4}(v^{2}+4)\,dv =\int_{-4}^{4}v^{2}\,dv+\int_{-4}^{4}4\,dv =2\int_{0}^{4}v^{2}\,dv+4\cdot(8) =2\cdot\frac{4^{3}}{3}+32 =\frac{128}{3}+32 =\frac{224}{3}.
Portanto
\iint_{S}G\,dS =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{224}{3} =\frac{56}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{56}{3}

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