Continuidade de funções:
Determine se f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} abaixo é contínua em x=0.
f(x)=\left\{\begin{array}{lr} 1+x^{2}+x, & \text { se } x>0 \\\\ 1+2 x, & \text { se } x \leq 0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} por partes e pede para verificar se ela é contínua em x=0. Para isso, precisamos calcular os dois limites laterais em 0 e comparar com o valor de f(0).

Passo 2

Calcular os limites laterais em x=0:
Para x<0, f(x)=1+2x, então \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(1+2x)=1.
Para x>0, f(x)=1+x^2+x, então \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(1+x^2+x)=1.

Passo 3

Avaliar o valor de f em x=0:
Como 0\le0, usamos o ramo f(x)=1+2x, logo
f(0)=1+2\cdot0=1.

Passo 4

Comparar limites e valor da função: \lim_{x\to0^-}f(x)=1, \lim_{x\to0^+}f(x)=1 e f(0)=1. São todos iguais, portanto f é contínua em x=0.

Resposta

f é contínua em x=0.

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