Continuidade de funções:
Determine a, se possível, para que f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} seja contínua em x=2.
f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}-x-2}{x-2}, & \text { se } x \neq 2 \\\ a, & \text { se } x=2\end{cases}

Passo 1

O enunciado define f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) por \[f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}-x-2}{x-2}, & x\neq 2,\\\ a, & x=2. \end{cases}
Queremos f\] contínua em \(x=2. Pela definição de continuidade, é preciso que
\lim_{x\to 2}f(x)=f(2)=a.

Passo 2

Para calcular \lim_{x\to 2}f(x) simplificamos a expressão para x\neq 2. Note que
x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1),
então, para x\neq 2,
f(x)=\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1.

Passo 3

Como para x\neq 2 temos f(x)=x+1, segue que
\lim_{x\to 2}f(x)=\lim_{x\to 2}(x+1)=2+1=3.

Passo 4

Para que f seja contínua em 2, devemos ter
a=f(2)=\lim_{x\to 2}f(x)=3.

Resposta

a=3

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