Continuidade de funções:
Determine b, se possível, para que f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} seja contínua em x=0.
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x^{3}}, & \text { se } x \neq 0 \\\ b, & \text { se } x=0\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{x^{3}}, & x \neq 0,\\[6pt] b, & x=0, \end{cases}
e pede para escolher b de modo que f seja contínua em x=0. Vamos usar a definição de continuidade: f é contínua em 0 se e somente se
\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=b.]

Passo 2

Para aplicar a definição, calculamos o limite
\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{3}}.
Se esse limite existir e for finito, poderemos igualá-lo a b.

Passo 3

Analisando os limites laterais:
\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^{3}}=+\infty, \quad \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x^{3}}=-\infty.
Os dois limites não coincidem nem são finitos, logo \lim_{x\to0}1/x^3 não existe como número real.

Passo 4

Como não há um limite finito em x\to0, não existe nenhum valor de b que satisfaça
\lim_{x\to0}f(x)=b.
Portanto, não é possível tornar f contínua em x=0.

Resposta

Não existe valor de b que torne f contínua em x=0.

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