Contrapositiva: Se
é par, então
é par.
Se
é par,
, então
, que é par.
Se
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados: um inteiro
. - Afirmação a provar: “Se
é par, então é par.” - Observação sobre o enunciado: a palavra “Contrapositiva” indica que o enunciado pede que a demonstração seja feita por contraposição (ou seja, provar a contrapartida lógica equivalente).
Passo 2
O que é provar por contraposição? Explico com calma e sem jargão.
- Uma implicação "se
então " é logicamente equivalente à sua contrapositive "se não então não ". - Ou seja, para provar
pode-se provar . Às vezes isso é mais fácil.
Aquié " é par" e é " é par". Então a contrapositiva é: “Se não é par (ou seja, é ímpar), então não é par (ou seja, é ímpar)”. Vou provar essa contrapositiva.
Passo 3
Definições básicas (isso é importante para fazer contas sem pular passos).
- Definição de número par: um inteiro
é par se existe um inteiro tal que - Definição de número ímpar: um inteiro
é ímpar se existe um inteiro tal que
Exemplos rápidos:
é par;
é ímpar.
Passo 4
Escrevendo a contrapositiva com as definições:
- Contrapositiva a provar: “Se
é ímpar então é ímpar.”
Vou partir assumindo queé ímpar e deduzir que é ímpar.
Passo 5
Assuma que
é ímpar. Então, pela definição de ímpar, existe um inteiro
tal que
Agora faço manipulações algébricas simples, bem explicadas, para isolar
:
Reescrevo
numa forma do tipo
para ver que
é ímpar. Note que
onde
é um inteiro (pois
é inteiro). Assim
ou seja,
é ímpar.
Passo 6
Agora uso uma propriedade elementar sobre paridade de produtos, e a demonstro rapidinho:
- Proposição: o produto de dois inteiros é ímpar se, e somente se, ambos os fatores são ímpares.
- Prova curta: se
é par então é par; logo se algum fator é par o produto é par. Se ambos são ímpares, escreva e ; então que é da forma , logo ímpar. Portanto o produto é ímpar exatamente quando ambos os fatores são ímpares.
- Prova curta: se
Passo 7
Aplicando a proposição ao caso concreto:
- Já vimos que
é ímpar. O número é ímpar (pois ). - Pelo fato provado no passo anterior, se o produto
é ímpar e é ímpar, então também tem de ser ímpar. Portanto é ímpar.
Passo 8
Concluímos a contrapositiva: “Se
é ímpar então
é ímpar”. Como a contrapositiva é logicamente equivalente à afirmativa original, isso prova que “Se
é par então
é par”.
Pequeno comentário amigo: dá também para provar a afirmativa diretamente (como no rascunho que você mostrou): assumir
e calcular
. Isso é curto e direto. Mas como o enunciado pedia “Contrapositiva”, fiz a prova por contraposição para treinar esse método.
Resposta
A afirmação é verdadeira.