Contrapositiva: Se n é par, então 3 n+2 é par.
Se n é par, n=2 k, então 3 n+2=3(2 k)+2=2(3 k+1), que é par.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados: um inteiro n.
  • Afirmação a provar: “Se n é par, então 3n+2 é par.”
  • Observação sobre o enunciado: a palavra “Contrapositiva” indica que o enunciado pede que a demonstração seja feita por contraposição (ou seja, provar a contrapartida lógica equivalente).

Passo 2

O que é provar por contraposição? Explico com calma e sem jargão.
  • Uma implicação "se P então Q" é logicamente equivalente à sua contrapositive "se não Q então não P".
  • Ou seja, para provar P \Rightarrow Q pode-se provar \neg Q \Rightarrow \neg P. Às vezes isso é mais fácil.
    Aqui P é " n é par" e Q é " 3n+2 é par". Então a contrapositiva é: “Se 3n+2 não é par (ou seja, é ímpar), então n não é par (ou seja, é ímpar)”. Vou provar essa contrapositiva.

Passo 3

Definições básicas (isso é importante para fazer contas sem pular passos).
  • Definição de número par: um inteiro x é par se existe um inteiro k tal que x = 2k.
  • Definição de número ímpar: um inteiro x é ímpar se existe um inteiro k tal que x = 2k+1.
Exemplos rápidos: \,4=2\cdot2 é par; \,7=2\cdot3+1 é ímpar.

Passo 4

Escrevendo a contrapositiva com as definições:
  • Contrapositiva a provar: “Se 3n+2 é ímpar então n é ímpar.”
    Vou partir assumindo que 3n+2 é ímpar e deduzir que n é ímpar.

Passo 5

Assuma que 3n+2 é ímpar. Então, pela definição de ímpar, existe um inteiro m tal que
3n+2 = 2m+1.
Agora faço manipulações algébricas simples, bem explicadas, para isolar 3n:
3n = 2m+1-2 = 2m-1.
Reescrevo 2m-1 numa forma do tipo 2(\text{inteiro})+1 para ver que 3n é ímpar. Note que
2m-1 = 2(m-1)+1,
onde m-1 é um inteiro (pois m é inteiro). Assim
3n = 2(m-1)+1,
ou seja, 3n é ímpar.

Passo 6

Agora uso uma propriedade elementar sobre paridade de produtos, e a demonstro rapidinho:
  • Proposição: o produto de dois inteiros é ímpar se, e somente se, ambos os fatores são ímpares.
    • Prova curta: se a=2r é par então ab=2(rb) é par; logo se algum fator é par o produto é par. Se ambos são ímpares, escreva a=2r+1 e b=2s+1; então ab = (2r+1)(2s+1) = 4rs+2r+2s+1 = 2(2rs+r+s)+1,que é da forma 2(\text{inteiro})+1, logo ímpar. Portanto o produto é ímpar exatamente quando ambos os fatores são ímpares.

Passo 7

Aplicando a proposição ao caso concreto:
  • Já vimos que 3n é ímpar. O número 3 é ímpar (pois 3=2\cdot1+1).
  • Pelo fato provado no passo anterior, se o produto 3\cdot n é ímpar e 3 é ímpar, então n também tem de ser ímpar. Portanto n é ímpar.

Passo 8

Concluímos a contrapositiva: “Se 3n+2 é ímpar então n é ímpar”. Como a contrapositiva é logicamente equivalente à afirmativa original, isso prova que “Se n é par então 3n+2 é par”.
Pequeno comentário amigo: dá também para provar a afirmativa diretamente (como no rascunho que você mostrou): assumir n=2k e calcular 3n+2=2(3k+1). Isso é curto e direto. Mas como o enunciado pedia “Contrapositiva”, fiz a prova por contraposição para treinar esse método.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

Exercícios relacionados