Use indução para demonstrar a identidade de Cassini para Fibonacci:
F_{n+1}^{2}-F_{n} F_{n+2}=(-1)^{n}
Identifique o uso de modus ponens na passagem de k para k+1.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução, a identidade de Cassini
F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n},
e também identificar onde e como se usa o modus ponens na passagem de k para k+1.
Informações dadas (ou necessárias):
  • Sequência de Fibonacci definida por
F_0=0,\qquad F_1=1,
F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\quad\text{para todo }n\ge0.
  • Queremos provar a propriedade para todo n\ge0.

Passo 2

Explicação rápida do método que vou usar (indução simples):
  • Princípio da indução matemática: para provar que uma proposição P(n) vale para todo n\ge0, basta:
    1. Mostrar a base P(0) (às vezes também P(1) se necessário).
    2. Mostrar que, para todo k\ge0, se P(k) é verdadeira então P(k+1) também é verdadeira (o chamado passo indutivo).
  • Aqui a proposição P(n) é:
P(n):\quad F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}.

Passo 3

Base da indução ( n=0):
Calcular o membro esquerdo para n=0:
F_{1}^{2}-F_{0}F_{2}=1^{2}-0\cdot 1=1.
O lado direito para n=0 é (-1)^{0}=1. Logo P(0) é verdadeira:
F_{1}^{2}-F_{0}F_{2}=(-1)^{0}.

Passo 4

Lema útil (identidade algébrica entre os termos consecutivos):
Vou mostrar que, para todo n\ge0,
F_{n+2}^{2}-F_{n+1}F_{n+3} = -\big(F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}\big).
Prova do lema (contando cada passo):
Começo somando as duas expressões:
\big(F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}\big) + \big(F_{n+2}^{2}-F_{n+1}F_{n+3}\big).
Usando a recorrência F_{n+3}=F_{n+2}+F_{n+1} substituo em F_{n+1}F_{n+3}:
F_{n+1}F_{n+3}=F_{n+1}(F_{n+2}+F_{n+1})=F_{n+1}F_{n+2}+F_{n+1}^{2}.
Assim a soma vira
F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2} + F_{n+2}^{2} - (F_{n+1}F_{n+2}+F_{n+1}^{2}).
Cancelando F_{n+1}^{2} e agrupando:
= F_{n+2}^{2} - F_{n}F_{n+2} - F_{n+1}F_{n+2} = F_{n+2}\big(F_{n+2}-F_{n}-F_{n+1}\big).
Mas pela recorrência F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}, o parêntese é zero, logo a soma é zero. Portanto
\big(F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}\big) + \big(F_{n+2}^{2}-F_{n+1}F_{n+3}\big)=0,
o que dá exatamente
F_{n+2}^{2}-F_{n+1}F_{n+3} = -\big(F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}\big).
Esse lema é uma identidade verdadeira para todo n (não depende de hipótese indutiva).

Passo 5

Passo indutivo: assumir P(k) e provar P(k+1).
Hipótese indutiva: suponha que para um k\ge0 vale
F_{k+1}^{2}-F_{k}F_{k+2}=(-1)^{k}.
Pelo lema do passo anterior temos, com n=k,
F_{k+2}^{2}-F_{k+1}F_{k+3} = -\big(F_{k+1}^{2}-F_{k}F_{k+2}\big).
Substituindo na expressão da direita a hipótese indutiva:
F_{k+2}^{2}-F_{k+1}F_{k+3} = -\big((-1)^{k}\big) = (-1)^{k+1}.
Assim mostramos P(k+1).

Passo 6

Conclusão por indução:
  • P(0) é verdadeira (passo 3).
  • Para todo k, P(k)\Rightarrow P(k+1) (passo 5).
    Pelo princípio da indução, P(n) vale para todo n\ge0. Ou seja, a identidade de Cassini
F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}
é verdadeira para todo n\ge0.

Passo 7

Explicando lógica e onde o modus ponens aparece:
  • Modus ponens é a regra lógica que diz: se temos as proposições A\Rightarrow B e A, então podemos concluir B.
  • No nosso passo indutivo, podemos tomar:
    • A como a hipótese indutiva \;F_{k+1}^{2}-F_{k}F_{k+2}=(-1)^{k}\;.
    • A\Rightarrow B como a implicação obtida do lema (para o mesmo k): \big(F_{k+1}^{2}-F_{k}F_{k+2}=x\big)\Rightarrow\big(F_{k+2}^{2}-F_{k+1}F_{k+3}=-x\big),(aqui x é um placeholder; o lema afirma que o segundo lado é sempre o negativo do primeiro).
  • Aplicando modus ponens: da hipótese A (onde x=(-1)^{k}) e da implicação A\Rightarrow B (o lema), concluímos B, isto é
F_{k+2}^{2}-F_{k+1}F_{k+3}=-(-1)^{k}=(-1)^{k+1}.
Portanto a conclusão P(k+1) decorre por modus ponens a partir da hipótese indutiva e do lema algébrico.

Resposta

\forall n\ge0:\\ F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}.
O uso de modus ponens ocorre ao combinar a hipótese indutiva \;F_{k+1}^{2}-F_{k}F_{k+2}=(-1)^{k}\; com o lema \;F_{k+2}^{2}-F_{k+1}F_{k+3}=-\big(F_{k+1}^{2}-F_{k}F_{k+2}\big)\;, inferindo então \;F_{k+2}^{2}-F_{k+1}F_{k+3}=(-1)^{k+1}.

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