Em um conversor CC-CA, V_{\mathrm{d}}=700 \mathrm{~V}. Para sintetizar um vetor médio de tensão elétrica do estator \vec{v}_{\mathrm{s}}^{a}(t)=563,4 \mathrm{e}^{\jmath 0,44} \mathrm{~V}, calcule x, y e z.

Passo 1

Dados do enunciado e o que é pedido:\n
Temos a tensão contínua do conversor \,V_{\mathrm{d}}=700\\ \mathrm{V}\,.\n
O vetor médio desejado a sintetizar é \displaystyle \vec{v}_{\mathrm{s}}^{a}(t)=563,4\,\mathrm{e}^{\jmath 0,44}\\ \mathrm{V}.\n
Pede-se calcular x,\;y e z.\n
Observação: espera-se que x,y,z sejam as frações do período de comutação (ou tempos normalizados) atribuídas a dois vetores ativos adjacentes e ao vetor zero, ou seja, devem satisfazer \;x+y+z=1\; e a combinação convexa dos vetores ativos gera o vetor desejado.

Passo 2

Escolha dos vetores ativos adjacentes (identificação do setor)\n
O argumento (ângulo) do vetor desejado é 0,44\\ \mathrm{rad}, que está entre 0 e \pi/3 (pois \pi/3\approx1,0472). Logo o vetor está no primeiro setor, entre os vetores ativos de ângulo 0 e \pi/3. Vamos chamar esses vetores de V_1 (ângulo 0) e V_2 (ângulo \pi/3). Também usamos o vetor zero V_0=0.

Passo 3

Definição dos vetores ativos segundo a convenção adotada\n
Adotamos a representação em que os vetores ativos correspondentes aos estados de chaveamento têm magnitude igual a \,V_{\mathrm{d}}\,. Assim:
V_1 = V_{\mathrm{d}}\,\mathrm{e}^{\jmath 0}=700\quad\text{e}\quad V_2 = V_{\mathrm{d}}\,\mathrm{e}^{\jmath \pi/3}=700\left(\tfrac{1}{2}+\jmath\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
O vetor zero é V_0=0.

Passo 4

Equação de síntese com os tempos normalizados\n
Se x,y,z são as frações do período de comutação atribuídas a V_1,V_2,V_0 respectivamente (normalizadas ao período, logo x+y+z=1), a síntese exige:
xV_1+yV_2+zV_0 = \vec{v}_{\mathrm{s}}^{a}(t).
Como V_0=0 podemos escrever, em forma mais simples,
xV_1+yV_2=\vec{v}_{\mathrm{s}}^{a}(t), \qquad\text{com}\qquad x+y+z=1.

Passo 5

Escrevendo a igualdade complexa em componentes reais e imaginárias\n
Escrevemos \vec{v}_{\mathrm{s}}^{a}(t) em componentes:
\vec{v}_{\mathrm{s}}^{a}(t)=563,4\big(\cos 0,44 + \jmath\sin 0,44\big).
Calculamos as componentes numéricas (aproximações suficientes para prova):
\cos 0,44\approx 0,904977,\qquad \sin 0,44\approx 0,425466.
Logo
\vec{v}_{\mathrm{s}}^{a}(t)\approx 563,4\,(0,904977)+\jmath\,563,4\,(0,425466)
\vec{v}_{\mathrm{s}}^{a}(t)\approx 509,863+\jmath\,239,707\\ (\mathrm{V}).

Passo 6

Expressão de V_2 em componentes e escrita do sistema linear\n
Calculamos V_2 em componentes reais e imaginárias usando \cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2} e \sin\frac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
V_2 = 700\left(\tfrac{1}{2}+\jmath\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=350+\jmath\,700\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Usando \tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254 obtemos
V_2\approx 350+\jmath\,606,2178.
Agora separamos as partes real e imaginária da equação xV_1+yV_2=\vec{v}_{\mathrm{s}}^{a}:
parte real:
700\,x + 350\,y = 509,863,
parte imaginária:
0\cdot x + 606,2178\,y = 239,707.

Passo 7

Resolução do sistema: primeiro a parte imaginária para achar y\n
Da equação imaginária:
y=\dfrac{239,707}{606,2178}\approx 0,39553.

Passo 8

Usando y para achar x pela parte real\n
Substituímos y na equação real:
700\,x + 350\cdot 0,39553 = 509,863.
Calculando 350\cdot 0,39553\approx 138,4355. Então
700\,x = 509,863 - 138,4355 = 371,4275,
x \approx \dfrac{371,4275}{700}\approx 0,53061.

Passo 9

Calculando z pela condição de soma das frações\n
Como x+y+z=1, temos
z = 1 - x - y \approx 1 - 0,53061 - 0,39553 \approx 0,07386.

Passo 10

Verificação simples e interpretação\n
Os três valores são positivos e somam aproximadamente 1 (verificação numérica), o que faz sentido físico: são frações do período de comutação alocadas aos dois vetores ativos e ao zero. Portanto a síntese é possível com os vetores escolhidos neste setor.

Resposta

x=0,5306\n
y=0,3955\n
z=0,0739

Exercícios relacionados