Determine as derivadas parciais das funções abaixo usando a regra da cadeia:
, sabendo que
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de uma função composta em relação às variáveis
e
.
Dados:
Dados:
Perguntas explícitas (o que vamos responder): calcular
e
, entendendo que
é escrita em termos de
que dependem de
.
Passo 2
Regra da cadeia (explicação didática): quando
depende de
e cada uma dessas depende de
, a derivada parcial de
em relação a
é a soma das contribuições de cada variável intermediária multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a
. Em fórmula:
Analogamente para
:
O que cada termo significa:
-
é a sensibilidade de quando só muda (mantendo fixos). -
é a sensibilidade de quando muda (mantendo fixo).
Multiplicando temos a contribuição desobre via . Repetimos para e .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
(aqui usamos regras básicas: derivada de potência e derivada de constante vezes função).
Explicação curta: para
tratamos
como constante ao derivar em
, obtendo
. Para
não aparece em
. Para
, derivando
em
dá
, e derivando
dá
. Para
, derivando em
dá
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
.
Dada , derivando em
(tratando
como constante):
Dada
Dada
:
Dado
:
pois
não depende de
.
Passo 5
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
.
Dada , derivando em
(tratando
como constante):
Dada
Para
:
pois
não depende de
.
Para :
Para
Passo 6
Substituir
em
para obter essas derivadas em termos de
. Primeiro escrevemos
em função de
:
Agora:
Passo 7
Aplicar a regra da cadeia para
e simplificar passo a passo.
Usando
Usando
substituímos os valores que já calculamos:
Agora simplificamos termo a termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo é zero. Somando:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo é zero. Somando:
Opcionalmente, podemos fatorar:
.
Passo 8
Aplicar a regra da cadeia para
e simplificar.
Usando
Usando
substituímos:
Simplificando:
Primeiro termo:
Segundo termo é zero.
Terceiro termo:
Somando:
Primeiro termo:
Segundo termo é zero.
Terceiro termo:
Somando:
Fatorando: