Determine as derivadas parciais das funções abaixo usando a regra da cadeia:
f(x, y, z)=x^{2} y+3 y^{2}-z^{2}, sabendo que x=3 u^{2} v, y=5 u e z=2 v.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de uma função composta em relação às variáveis u e v.
Dados:
f(x,y,z)=x^{2}y+3y^{2}-z^{2},
x=3u^{2}v,\qquad y=5u,\qquad z=2v.
Perguntas explícitas (o que vamos responder): calcular \dfrac{\partial f}{\partial u} e \dfrac{\partial f}{\partial v}, entendendo que f é escrita em termos de x,y,z que dependem de u,v.

Passo 2

Regra da cadeia (explicação didática): quando f depende de x,y,z e cada uma dessas depende de u,v, a derivada parcial de f em relação a u é a soma das contribuições de cada variável intermediária multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a u. Em fórmula:
\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u}.
Analogamente para \dfrac{\partial f}{\partial v}:
\frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial v}.
O que cada termo significa:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x} é a sensibilidade de f quando só x muda (mantendo y,z fixos).
  • \dfrac{\partial x}{\partial u} é a sensibilidade de x quando u muda (mantendo v fixo).
    Multiplicando temos a contribuição de u sobre f via x. Repetimos para y e z.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f em relação a x,y,z (aqui usamos regras básicas: derivada de potência e derivada de constante vezes função).
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy,
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+6y,
\frac{\partial f}{\partial z}=-2z.
Explicação curta: para x^{2}y tratamos y como constante ao derivar em x, obtendo 2x\cdot y. Para 3y^{2} não aparece em f_x. Para f_y, derivando x^{2}y em y x^{2}, e derivando 3y^{2} 6y. Para -z^{2}, derivando em z -2z.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x,y,z em relação a u.
Dada x=3u^{2}v, derivando em u (tratando v como constante):
\frac{\partial x}{\partial u}=6uv.
Dada y=5u:
\frac{\partial y}{\partial u}=5.
Dado z=2v:
\frac{\partial z}{\partial u}=0,
pois z não depende de u.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais de x,y,z em relação a v.
Dada x=3u^{2}v, derivando em v (tratando u como constante):
\frac{\partial x}{\partial v}=3u^{2}.
Para y=5u:
\frac{\partial y}{\partial v}=0,
pois y não depende de v.
Para z=2v:
\frac{\partial z}{\partial v}=2.

Passo 6

Substituir x,y,z em \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z} para obter essas derivadas em termos de u,v. Primeiro escrevemos x,y,z em função de u,v:
x=3u^{2}v,\qquad y=5u,\qquad z=2v.
Agora:
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy = 2\,(3u^{2}v)\,(5u)=30u^{3}v,
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+6y=(3u^{2}v)^{2}+6(5u)=9u^{4}v^{2}+30u,
\frac{\partial f}{\partial z}=-2z=-2(2v)=-4v.

Passo 7

Aplicar a regra da cadeia para \dfrac{\partial f}{\partial u} e simplificar passo a passo.
Usando
\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u},
substituímos os valores que já calculamos:
\frac{\partial f}{\partial u} = (30u^{3}v)(6uv) + (9u^{4}v^{2}+30u)(5) + (-4v)(0).
Agora simplificamos termo a termo:
Primeiro termo: (30u^{3}v)(6uv)=180u^{4}v^{2}.
Segundo termo: 5(9u^{4}v^{2}+30u)=45u^{4}v^{2}+150u.
Terceiro termo é zero. Somando:
\frac{\partial f}{\partial u}=180u^{4}v^{2}+45u^{4}v^{2}+150u=225u^{4}v^{2}+150u.
Opcionalmente, podemos fatorar: \dfrac{\partial f}{\partial u}=75u(3u^{3}v^{2}+2).

Passo 8

Aplicar a regra da cadeia para \dfrac{\partial f}{\partial v} e simplificar.
Usando
\frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial v},
substituímos:
\frac{\partial f}{\partial v} = (30u^{3}v)(3u^{2}) + (9u^{4}v^{2}+30u)(0) + (-4v)(2).
Simplificando:
Primeiro termo: (30u^{3}v)(3u^{2})=90u^{5}v.
Segundo termo é zero.
Terceiro termo: (-4v)(2)=-8v.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial v}=90u^{5}v-8v.
Fatorando: \dfrac{\partial f}{\partial v}=v(90u^{5}-8)=2v(45u^{5}-4).

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial u}=225u^{4}v^{2}+150u
\dfrac{\partial f}{\partial v}=90u^{5}v-8v

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