Converta de coordenadas cilíndricas ( r, \theta, z ) para esféricas ( \rho, \theta, \varphi )
\left(\sqrt{3}, \frac{\pi}{6}, 3\right)

Passo 1

O enunciado nos dá um ponto em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z)=(\sqrt{3},\,\tfrac{\pi}{6},\,3) e pede a conversão para esféricas (\rho,\theta,\varphi). Na convenção matemática:
\rho = \sqrt{r^2 + z^2}, \quad \theta = \theta, \quad \varphi = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{z}{\rho}\Bigr).

Passo 2

Calculamos \rho usando r=\sqrt{3} e z=3:
\rho = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.

Passo 3

Agora \varphi satisfaz
\varphi = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{z}{\rho}\Bigr) = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{3}{2\sqrt{3}}\Bigr) = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) = \frac{\pi}{6}.
Mantemos \theta=\tfrac{\pi}{6}.

Resposta

(\rho,\theta,\varphi) = \bigl(2\sqrt{3},\,\tfrac{\pi}{6},\,\tfrac{\pi}{6}\bigr).

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