Converta de coordenadas esféricas ( \rho, \theta, \varphi ) para cilíndricas ( r, \theta, z )
\left(5, \frac{\pi}{4}, \frac{2 \pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto dado em coordenadas esféricas \bigl(\rho,\theta,\varphi\bigr) = \bigl(5,\tfrac{\pi}{4},\tfrac{2\pi}{3}\bigr)
para coordenadas cilíndricas \bigl(r,\theta,z\bigr).
O conteúdo envolve usar as fórmulas de conversão \;r = \rho \sin\varphi,\;\theta permanece o mesmo e z = \rho \cos\varphi.

Passo 2

As fórmulas de conversão são:
r = \rho \,\sin\varphi,
\theta_{\text{cil}} = \theta_{\text{esf}},
z = \rho \,\cos\varphi.

Passo 3

Calcular r:
r = 5 \,\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Calcular z:
z = 5 \,\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) = 5 \times \bigl(-\tfrac12\bigr) = -\frac{5}{2}.

Passo 5

O ângulo \theta permanece \tfrac{\pi}{4} na passagem para cilíndricas.

Resposta

\bigl(r,\theta,z\bigr) = \Bigl(\tfrac{5\sqrt{3}}{2},\,\tfrac{\pi}{4},\,-\tfrac{5}{2}\Bigr).

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