Converta de coordenadas esféricas ( \rho, \theta, \varphi ) para cilíndricas ( r, \theta, z )
\left(4, \frac{2 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{6}\right)

Passo 1

O enunciado dá um ponto em coordenadas esféricas \bigl(\rho,\theta,\varphi\bigr) = \bigl(4,\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{5\pi}{6}\bigr) e pede as coordenadas cilíndricas (r,\theta,z). Vamos usar as fórmulas de conversão:
r = \rho\sin\varphi,\quad \theta_{\rm cil} = \theta_{\rm esf},\quad z = \rho\cos\varphi.

Passo 2

Calculamos
r = 4 \,\sin\!\Bigl(\tfrac{5\pi}{6}\Bigr) = 4 \times \tfrac12 = 2.

Passo 3

O ângulo \theta fica o mesmo, ou seja,
\theta = \tfrac{2\pi}{3}.

Passo 4

Calculamos
z = 4 \,\cos\!\Bigl(\tfrac{5\pi}{6}\Bigr) = 4 \times \Bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) = -2\sqrt{3}.

Resposta

(r,\theta,z) = \Bigl(2,\;\tfrac{2\pi}{3},\;-2\sqrt{3}\Bigr).

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