Converta de coordenadas retangulares ( x, y, z ) para esféricas ( \rho, \theta, \varphi )
(1, \sqrt{3},-2)

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto (1,\sqrt{3},-2) de coordenadas retangulares para esféricas (\rho,\theta,\varphi).
A matéria envolvida é a definição de coordenadas esféricas, onde usamos as fórmulas \rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\quad(\text{azimute no plano }xy),
\varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{z}{\rho}\bigr)\quad(\text{ângulo a partir do eixo }z).â

Passo 2

Calcular \rho:
\rho = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 3 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.

Passo 3

Calcular \theta:
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{1}\bigr) = \tfrac{\pi}{3}.
Como x>0 e y>0, não é preciso ajustar o quadrante.

Passo 4

Calcular \varphi:
\varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{z}{\rho}\bigr) = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{-2}{2\sqrt{2}}\bigr) = \operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) = \tfrac{3\pi}{4}.

Resposta

(\rho,\theta,\varphi) = \Bigl(2\sqrt{2},\,\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{3\pi}{4}\Bigr).

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