Converta de coordenadas retangulares ( x, y, z ) para esféricas ( \rho, \theta, \varphi )
(1,-1, \sqrt{2})

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto retangular (x,y,z)=(1,-1,\sqrt2) em coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi). Vamos usar as fórmulas
\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},\quad \theta = \arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)\\ (\text{ajustado ao quadrante}),\quad \varphi = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{z}{\rho}\Bigr).

Passo 2

Para \rho, calculamos \rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} substituindo x=1, y=-1, z=\sqrt2:
\rho = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (\sqrt2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = 2.

Passo 3

Para \theta, usamos
\theta = \arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = \arctan\!\Bigl(\frac{-1}{1}\Bigr) = -\frac{\pi}{4}.
Como queremos \theta em [0,2\pi), somamos 2\pi:
\theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}.

Passo 4

Para \varphi, aplicamos
\varphi = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{z}{\rho}\Bigr) = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{\sqrt2}{2}\Bigr) = \frac{\pi}{4}.

Resposta

\rho = 2,\;\theta = \tfrac{7\pi}{4},\;\varphi = \tfrac{\pi}{4}.

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