Converta a equação do cone z=raizx^2+y^2 para coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de um cone: $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} z = raizx^2 + y^2 éçãéóãx, y, z x, y, zé\rho, \theta, \phi$).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas que relacionam as coordenadas cartesianas com as esféricas:
x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi
Aqui:
  • rho é a distância do ponto até a origem.
  • theta é o ângulo no plano xy (como o ângulo no relógio).
  • phi é o ângulo entre o eixo z e a linha que vai da origem até o ponto.

Passo 3

Agora, vamos substituir x e y na equação do cone usando essas fórmulas:
z = raizx^2 + y^2 implies rho cos phi = raiz (rho sin phi cos theta)^2 + (rho sin phi sin theta)^2

Passo 4

Vamos simplificar o que está dentro da raiz:
(rho sin phi cos theta)^2 + (rho sin phi sin theta)^2 = rho^2 sin^2 phi (cos^2 theta + sin^2 theta)
Sabemos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1, então:
rho^2 sin^2 phi (cos^2 theta + sin^2 theta) = rho^2 sin^2 phi times 1 = rho^2 sin^2 phi

Passo 5

Agora, a equação fica:
rho cos phi = raiz rho^2 sin^2 phi = rho sin phi
(Note que tiramos a raiz quadrada, e como rho é sempre positivo, simplificamos para rho sin phi).

Passo 6

Podemos dividir ambos os lados por rho (já que rho neq 0):
cos phi = sin phi

Passo 7

Essa equação cos phi = sin phi pode ser resolvida da seguinte forma:
tan phi = sin phicos phi = 1 implies phi = pi4

Resposta

A equação do cone em coordenadas esféricas é $ \phi = \frac{\pi}{4} $.

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