Converta a equação do cone
para coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de um cone: $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}
x, y, z
\rho, \theta, \phi$).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as fórmulas que relacionam as coordenadas cartesianas com as esféricas:
Aqui:
-
é a distância do ponto até a origem.rho -
é o ângulo no planotheta (como o ângulo no relógio).xy -
é o ângulo entre o eixophi e a linha que vai da origem até o ponto.z
Passo 3
Agora, vamos substituir
x e
y na equação do cone usando essas fórmulas:
Passo 4
Vamos simplificar o que está dentro da raiz:
Sabemos que
cos^2 theta + sin^2 theta = 1 , então:
Passo 5
Agora, a equação fica:
(Note que tiramos a raiz quadrada, e como
rho é sempre positivo, simplificamos para
rho sin phi ).
Passo 6
Podemos dividir ambos os lados por
rho (já que
rho neq 0 ):
Passo 7
Essa equação
cos phi = sin phi pode ser resolvida da seguinte forma:
Resposta
A equação do cone em coordenadas esféricas é $ \phi = \frac{\pi}{4} $.