Converta o número 1023 para a base 2.

Passo 1

O que o enunciado pede: converter o número decimal 1023 para a base 2.
Informações dadas: o número a converter é 1023 (em base decimal).

Passo 2

Conceito necessário (explicação didática): em base 2 (sistema binário) cada dígito vale 0 ou 1 e tem peso igual a potências de 2. Ou seja, um número binário com dígitos b_{n-1}b_{n-2}\dots b_1b_0 representa
\sum_{k=0}^{n-1} b_k\,2^k,
onde cada b_k é 0 ou 1 e 2^k é a potência de 2 correspondente à posição.
Método prático (divisão sucessiva): para obter os dígitos em base 2 dividimos o número por 2 repetidamente e anotamos o resto de cada divisão; os restos, lidos de baixo para cima (último resto → primeiro), formam os dígitos binários do número do bit menos significativo (LSB) ao mais significativo (MSB). Exemplo rápido: 13 em binário dá restos 1,0,1,1 (na ordem das divisões) e, lidos ao contrário, 1101_2 que vale 8+4+0+1=13.

Passo 3

Aplicando o método de divisão sucessiva ao número 1023. Vou anotar cada divisão mostrando quociente e resto (tudo em \LaTeX):
1023 \div 2 = 511\\ \text{com resto}\\\ 1
511 \div 2 = 255\\ \text{com resto}\\\ 1
255 \div 2 = 127\\ \text{com resto}\\\ 1
127 \div 2 = 63\\ \text{com resto}\\\ 1
63 \div 2 = 31\\ \text{com resto}\\\ 1
31 \div 2 = 15\\ \text{com resto}\\\ 1
15 \div 2 = 7\\ \text{com resto}\\\ 1
7 \div 2 = 3\\ \text{com resto}\\\ 1
3 \div 2 = 1\\ \text{com resto}\\\ 1
1 \div 2 = 0\\ \text{com resto}\\\ 1
Os restos, na ordem em que apareceram, são: 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1. Para formar o número binário lemos os restos do último obtido para o primeiro (do último quociente não-nulo para o primeiro), ou seja, de cima para baixo na lista de divisões: isso dá a sequência de dígitos 1\,1\,1\,1\,1\,1\,1\,1\,1\,1.

Passo 4

Montando o número binário: os dígitos lidos do mais significativo para o menos significativo formam
1111111111_2.
Verificação (importante para provas): calcular o valor de \,1111111111_2 como soma de potências de 2:
1111111111_2 = \sum_{k=0}^{9} 2^k = 2^{10}-1.
Como 2^{10}=1024, temos 2^{10}-1=1023, que confirma que a conversão está correta.

Passo 5

Observação extra (atalho útil para prova): se o número decimal for da forma 2^n-1 (por exemplo 1,3,7,15,31,\dots), sua representação binária é simplesmente n dígitos iguais a 1. No nosso caso 1023=2^{10}-1, então a resposta tem 10 uns: 1111111111_2. Isso é um reconhecimento rápido que salva tempo na prova.

Resposta

1023_{10}=1111111111_2

Exercícios relacionados