Desenhe as superfícies de nível das funções dadas para os valores
:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede: desenhar as superfícies de nível da função
para os valores
. As informações dadas são exatamente a expressão de
e os três valores de
para os quais devemos obter as superfícies de nível.
Passo 2
O que é uma superfície de nível (explicação didática): para uma função
, a superfície de nível associada a um valor
é o conjunto de pontos
que satisfaçam a equação
No nosso caso isso significa resolver
Essa equação vai descrever geometricamente algum conjunto no espaço (por exemplo, uma esfera, um ponto, ou nenhum ponto), dependendo do valor de
.
Passo 3
Observação importante sobre somas de quadrados (explicação didática): cada termo
,
e
é sempre maior ou igual a zero para todo
. Portanto a soma
é sempre
. Isso implica duas coisas:
- Se
, a equação não tem solução real alguma, porque a soma de quadrados não pode ser negativa. - O menor valor possível para
é , e esse valor ocorre quando cada quadrado é zero ao mesmo tempo, ou seja, quando , , .
Passo 4
Identificação da forma geométrica (explicação didática): a equação
é exatamente a equação de uma esfera no espaço com centro em
e raio
, desde que
. Em geral, a equação padrão de uma esfera com centro em
e raio
é
Comparando, vemos que
,
,
e
, portanto
(quando
). Vou explicar concretamente cada caso pedido.
Passo 5
Caso
: pela observação do Passo 3,
torna impossível a igualdade, pois soma de quadrados não pode ser negativa. Logo não existe nenhum ponto
que satisfaça
Portanto a superfície de nível para
é o conjunto vazio (nenhuma superfície real).
Passo 6
Caso
: substituindo na equação obtemos
Uma soma de três quadrados é zero só quando cada quadrado é zero separadamente. Assim
ou seja o único ponto que satisfaz é
. Geometricamente isso corresponde a uma esfera de raio
, isto é, um ponto isolado no espaço.
Passo 7
Caso
: substituindo,
Isso é a esfera de centro
e raio
. Para visualizar: é o conjunto de todos os pontos a distância
do ponto
. Se você fixar
(corte horizontal no nível do centro), o corte é o círculo
no plano
. Se fixar
(corte vertical), obtém-se o círculo
no plano
. Essas interseções ajudam a desenhar a esfera: centro
e raio
.
Passo 8
Resumo rápido de como desenhar:
- Para
: não desenha nada (nenhuma solução). - Para
: desenhe apenas o ponto . - Para
: desenhe uma esfera de centro e raio ; especificamente para o raio é .
Resposta
Para
: nenhuma superfície (conjunto vazio).
Para : o ponto
.
Para : esfera de centro
e raio
, dada por
.
Para
Para