Desenhe as superfícies de nível das funções dadas para os valores c=-1,0,1 :
(d) f(x, y, z)=(x-1)^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}

Passo 1

O enunciado pede: desenhar as superfícies de nível da função f(x,y,z)=(x-1)^{2}+y^{2}+(z-2)^{2} para os valores c=-1,\,0,\,1. As informações dadas são exatamente a expressão de f e os três valores de c para os quais devemos obter as superfícies de nível.

Passo 2

O que é uma superfície de nível (explicação didática): para uma função f(x,y,z), a superfície de nível associada a um valor c é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfaçam a equação
f(x,y,z)=c.
No nosso caso isso significa resolver
(x-1)^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=c.
Essa equação vai descrever geometricamente algum conjunto no espaço (por exemplo, uma esfera, um ponto, ou nenhum ponto), dependendo do valor de c.

Passo 3

Observação importante sobre somas de quadrados (explicação didática): cada termo (x-1)^{2}, y^{2} e (z-2)^{2} é sempre maior ou igual a zero para todo (x,y,z). Portanto a soma
(x-1)^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}
é sempre \ge 0. Isso implica duas coisas:
  • Se c<0, a equação (x-1)^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=c não tem solução real alguma, porque a soma de quadrados não pode ser negativa.
  • O menor valor possível para f é 0, e esse valor ocorre quando cada quadrado é zero ao mesmo tempo, ou seja, quando (x-1)^{2}=0, y^{2}=0, (z-2)^{2}=0.

Passo 4

Identificação da forma geométrica (explicação didática): a equação
(x-1)^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=c
é exatamente a equação de uma esfera no espaço com centro em (1,0,2) e raio \sqrt{c}, desde que c\ge 0. Em geral, a equação padrão de uma esfera com centro em (x_0,y_0,z_0) e raio R é
(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2}.
Comparando, vemos que x_{0}=1, y_{0}=0, z_{0}=2 e R^{2}=c, portanto R=\sqrt{c} (quando c\ge 0). Vou explicar concretamente cada caso pedido.

Passo 5

Caso \displaystyle c=-1: pela observação do Passo 3, \displaystyle c<0 torna impossível a igualdade, pois soma de quadrados não pode ser negativa. Logo não existe nenhum ponto (x,y,z) que satisfaça
(x-1)^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=-1.
Portanto a superfície de nível para \displaystyle c=-1 é o conjunto vazio (nenhuma superfície real).

Passo 6

Caso \displaystyle c=0: substituindo na equação obtemos
(x-1)^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=0.
Uma soma de três quadrados é zero só quando cada quadrado é zero separadamente. Assim
x-1=0,\qquad y=0,\qquad z-2=0,
ou seja o único ponto que satisfaz é (x,y,z)=(1,0,2). Geometricamente isso corresponde a uma esfera de raio \sqrt{0}=0, isto é, um ponto isolado no espaço.

Passo 7

Caso \displaystyle c=1: substituindo,
(x-1)^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=1.
Isso é a esfera de centro (1,0,2) e raio \sqrt{1}=1. Para visualizar: é o conjunto de todos os pontos a distância 1 do ponto (1,0,2). Se você fixar z=2 (corte horizontal no nível do centro), o corte é o círculo
(x-1)^{2}+y^{2}=1
no plano z=2. Se fixar y=0 (corte vertical), obtém-se o círculo
(x-1)^{2}+(z-2)^{2}=1
no plano y=0. Essas interseções ajudam a desenhar a esfera: centro (1,0,2) e raio 1.

Passo 8

Resumo rápido de como desenhar:
  • Para \displaystyle c<0: não desenha nada (nenhuma solução).
  • Para \displaystyle c=0: desenhe apenas o ponto (1,0,2).
  • Para \displaystyle c>0: desenhe uma esfera de centro (1,0,2) e raio \sqrt{c}; especificamente para \displaystyle c=1 o raio é 1.

Resposta

Para \displaystyle c=-1: nenhuma superfície (conjunto vazio).
Para \displaystyle c=0: o ponto (1,0,2).
Para \displaystyle c=1: esfera de centro (1,0,2) e raio 1, dada por (x-1)^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=1.

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