Converta os números da forma retangular para polar
3+j 4

Passo 1

O que o enunciado pede: converter o número complexo dado da forma retangular para a forma polar.
Informação fornecida: o número complexo é \,3 + j\,4\,.
Objetivo final: encontrar o módulo (ou magnitude) r e o argumento (ângulo) \theta e expressar o número nas formas polar r\angle\theta e exponencial r e^{j\theta}.

Passo 2

Entendendo as componentes: numa forma retangular \,x + j y\, temos duas partes:
x
é a parte real e
y
é a parte imaginária. No nosso caso, lendo o enunciado,
x = 3,\qquad y = 4.

Passo 3

Fórmula do módulo: o módulo r de \,x + j y\, é dado pelo teorema de Pitágoras aplicado às componentes real e imaginária:
r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.
Explicando: pense no ponto (x,y) no plano; a distância da origem até esse ponto é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos x e y.

Passo 4

Aplicando a fórmula do módulo com x=3 e y=4:
r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.
Comentário amigo: esse é o clássico triângulo 3- 4- 5; por isso o resultado é inteiro e simples — sorte nossa!

Passo 5

Fórmula do argumento: o argumento \theta normalmente se obtém por
\theta = \operatorname{atan2}(y,x),
que é a função arco-tangente que já leva em conta o quadrante correto. Se soubermos o sinal de x e y, podemos usar
\theta = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)
desde que ajustemos o quadrante se necessário.

Passo 6

Verificando o quadrante: como \,x=3>0\, e \,y=4>0\,, o ponto está no primeiro quadrante. Nesse caso não há ajuste de quadrante e podemos usar diretamente
\theta = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\!\left(\frac{4}{3}\right).

Passo 7

Cálculo do ângulo: calcular \arctan\!\left(\dfrac{4}{3}\right). Em graus esse valor é aproximadamente
\theta \approx 53,1301024^\circ.
Arredondando de forma prática para a prova, podemos usar
\theta \approx 53,13^\circ.
Em radianos (útil para a forma exponencial) convertemos pelo fator \pi/180:
\theta \approx 53,1301024^\circ \times \frac{\pi}{180} \approx 0,927295218\\ \text{rad},
que arredondamos para
\theta \approx 0,9273\\ \text{rad}.

Passo 8

Construindo as formas polares finais: com r=5 e \theta calculado, as formas convencionais são
forma com ângulo em graus:
5\angle 53,13^\circ
forma exponencial (ângulo em radianos):
5\,e^{j\,0,9273}.

Resposta

5\angle 53,13^\circ
5\,e^{j\,0,9273}

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