Uma fina folha condutora infinitamente longa definida no espaço como 0 \leq x \leq w \mathrm{e}-\infty \leq y \leq \infty conduz uma corrente com uma densidade de corrente uniforme \vec{J}_{s}=5 \vec{a}_{y}[\mathrm{~A} / \mathrm{m}]. Obtenha uma expressão para o campo magnético no ponto P(0,0, z) em coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado dá uma folha condutora muito fina, situada no plano z=0, com 0\le x\le w e -\infty<y<\infty. A folha conduz uma densidade de corrente superficial uniforme \vec{J}_{s}=5\,\vec{a}_{y} [A/m]. Pede-se: obter uma expressão do campo magnético no ponto P(0,0,z) (eixo z, sobre/abaixo da folha) em coordenadas cartesianas.
Informações relevantes: \vec{J}_{s}=5\,\vec{a}_{y}, a folha é infinitamente longa em y e limitada em x por 0 e w, ponto de observação P(0,0,z). A folha está no plano z=0 (assumi isso porque o enunciado descreve a folha por x e y e diz “fina” — sem essa hipótese a figura não estaria determinada).

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): vamos usar a Lei de Biot–Savart para corrente distribuída em superfície. Vou decompor a folha em filamentos infinitesimais paralelos ao eixo y (cada filamento está em x=x', tem corrente dI= \,J_s\,dx') e somar (integrar) a contribuição magnética de cada filamento no ponto P. Essa escolha é natural porque a folha é infinita em y e a corrente corre em y: cada faixa em x se comporta como um fio retilíneo infinito com corrente dI.

Passo 3

Apresentando a Lei de Biot–Savart para um fio infinito: o módulo do campo magnético gerado por um fio retilíneo infinito, com corrente I, a uma distância perpendicular R do fio é
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi R},
direção \hat{\varphi} que circula ao redor do fio (regra da mão direita). Aqui \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}). Vou aplicar essa fórmula a cada filamento infinitesimal localizado em x=x' e integrar em x' de 0 a w.

Passo 4

Definição do filamento diferencial e geometria do problema: escolha um filamento entre x' e x'+dx' no plano z=0. A densidade superficial é \vec{J}_s=J_s\vec{a}_y com J_s=5. O filamento tem corrente (amplitude)
dI = J_s\,dx'.
O ponto de observação é P(0,0,z). A distância perpendicular entre o filamento (localizado em (x',y,0)) e P é
R=\sqrt{(0-x')^2+(z-0)^2}=\sqrt{x'^2+z^2}.

Passo 5

Direção do campo gerado por um filamento: para um fio ao longo de y a campo é circular em torno do eixo do fio. Para o ponto P a versor azimutal (direção do campo) pode ser expresso usando a geometria no plano x\!z: se \vec{r}_\perp=(-x')\vec{a}_x+z\vec{a}_z é o vetor do eixo do fio até o ponto, o versor \hat{\varphi} (obtido por \vec{a}_y\times \hat{r}_\perp) vale
\hat{\varphi}=\frac{z}{R}\,\vec{a}_x+\frac{x'}{R}\,\vec{a}_z.
Assim, a contribuição diferencial do filamento é
d\vec{B}=\frac{\mu_0\,dI}{2\pi R}\,\hat{\varphi} =\frac{\mu_0 J_s\,dx'}{2\pi R}\left(\frac{z}{R}\,\vec{a}_x+\frac{x'}{R}\,\vec{a}_z\right).

Passo 6

Escrevendo as componentes diferenciais explicitamente:
dB_x=\frac{\mu_0 J_s}{2\pi}\,\frac{z\,dx'}{R^2}=\frac{\mu_0 J_s}{2\pi}\,\frac{z\,dx'}{x'^2+z^2},
dB_z=\frac{\mu_0 J_s}{2\pi}\,\frac{x'\,dx'}{R^2}=\frac{\mu_0 J_s}{2\pi}\,\frac{x'\,dx'}{x'^2+z^2}.
Não há componente em \vec{a}_y por simetria (os filamentos estão paralelos a y e o campo resultante está no plano x\!z).

Passo 7

Agora integramos x' de 0 até w para somar todas as faixas:
Para B_x:
B_x=\frac{\mu_0 J_s}{2\pi}\,z\int_{0}^{w}\frac{dx'}{x'^2+z^2}.
Usamos a primitiva \displaystyle\int\frac{dx'}{x'^2+z^2}=\frac{1}{z}\arctan\!\left(\frac{x'}{z}\right). Assim
B_x=\frac{\mu_0 J_s}{2\pi}\,z\cdot\frac{1}{z}\left[\arctan\!\left(\frac{x'}{z}\right)\right]_{0}^{w} =\frac{\mu_0 J_s}{2\pi}\,\arctan\!\left(\frac{w}{z}\right).

Passo 8

Para B_z:
B_z=\frac{\mu_0 J_s}{2\pi}\int_{0}^{w}\frac{x'\,dx'}{x'^2+z^2}.
Usamos a substituição direta u=x'^2+z^2, du=2x'\,dx', logo
\int\frac{x'\,dx'}{x'^2+z^2}=\frac{1}{2}\ln\!\big(x'^2+z^2\big).
Avalia-se de 0 a w:
B_z=\frac{\mu_0 J_s}{2\pi}\cdot\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{w^2+z^2}{z^2}\right) =\frac{\mu_0 J_s}{4\pi}\ln\!\left(1+\frac{w^2}{z^2}\right).

Passo 9

Reunindo as componentes e substituindo J_s=5 (valor dado), o campo magnético no ponto P(0,0,z) é
\vec{B}(0,0,z)=\frac{\mu_0 J_s}{2\pi}\,\arctan\!\left(\frac{w}{z}\right)\,\vec{a}_x +\frac{\mu_0 J_s}{4\pi}\ln\!\left(1+\frac{w^2}{z^2}\right)\,\vec{a}_z.
Substituindo J_s=5,
\vec{B}(0,0,z)=\frac{5\mu_0}{2\pi}\,\arctan\!\left(\frac{w}{z}\right)\,\vec{a}_x +\frac{5\mu_0}{4\pi}\ln\!\left(1+\frac{w^2}{z^2}\right)\,\vec{a}_z.

Passo 10

Pequenos comentários físicos (rápidos e encorajadores): para z>0 essa fórmula dá a direção e sinal das componentes; se z<0 a mesma integração vale e o resultado se ajusta naturalmente (usar o valor de z com sinal). Limite quando w\to\infty: \arctan(w/z)\to\pi/2 então B_x\to\mu_0 J_s/4 (componente limitada), enquanto B_z diverge logaritmicamente (contribuição de regiões distantes), o que é compatível com uma folha infinita que começa em x=0 e vai até \infty.

Resposta

\vec{B}(0,0,z)=\frac{5\mu_0}{2\pi}\,\arctan\!\left(\frac{w}{z}\right)\,\vec{a}_x +\frac{5\mu_0}{4\pi}\ln\!\left(1+\frac{w^2}{z^2}\right)\,\vec{a}_z.

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