Uma fina folha condutora infinitamente longa definida no espaço como
conduz uma corrente com uma densidade de corrente uniforme
. Obtenha uma expressão para o campo magnético no ponto
em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado dá uma folha condutora muito fina, situada no plano
, com
e
. A folha conduz uma densidade de corrente superficial uniforme
[A/m]. Pede-se: obter uma expressão do campo magnético no ponto
(eixo
, sobre/abaixo da folha) em coordenadas cartesianas.
Informações relevantes: , a folha é infinitamente longa em
e limitada em
por
e
, ponto de observação
. A folha está no plano
(assumi isso porque o enunciado descreve a folha por
e
e diz “fina” — sem essa hipótese a figura não estaria determinada).
Informações relevantes:
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): vamos usar a Lei de Biot–Savart para corrente distribuída em superfície. Vou decompor a folha em filamentos infinitesimais paralelos ao eixo
(cada filamento está em
, tem corrente
) e somar (integrar) a contribuição magnética de cada filamento no ponto
. Essa escolha é natural porque a folha é infinita em
e a corrente corre em
: cada faixa em
se comporta como um fio retilíneo infinito com corrente
.
Passo 3
Apresentando a Lei de Biot–Savart para um fio infinito: o módulo do campo magnético gerado por um fio retilíneo infinito, com corrente
, a uma distância perpendicular
do fio é
direção
que circula ao redor do fio (regra da mão direita). Aqui
é a permeabilidade do vácuo (
). Vou aplicar essa fórmula a cada filamento infinitesimal localizado em
e integrar em
de
a
.
Passo 4
Definição do filamento diferencial e geometria do problema: escolha um filamento entre
e
no plano
. A densidade superficial é
com
. O filamento tem corrente (amplitude)
O ponto de observação é
. A distância perpendicular entre o filamento (localizado em
) e
é
Passo 5
Direção do campo gerado por um filamento: para um fio ao longo de
a campo é circular em torno do eixo do fio. Para o ponto
a versor azimutal (direção do campo) pode ser expresso usando a geometria no plano
: se
é o vetor do eixo do fio até o ponto, o versor
(obtido por
) vale
Assim, a contribuição diferencial do filamento é
Passo 6
Escrevendo as componentes diferenciais explicitamente:
Não há componente em
por simetria (os filamentos estão paralelos a
e o campo resultante está no plano
).
Passo 7
Agora integramos
de
até
para somar todas as faixas:
Para :
Para
Usamos a primitiva
. Assim
Passo 8
Para
:
Usamos a substituição direta
,
, logo
Avalia-se de
a
:
Passo 9
Reunindo as componentes e substituindo
(valor dado), o campo magnético no ponto
é
Substituindo
,
Passo 10
Pequenos comentários físicos (rápidos e encorajadores): para
essa fórmula dá a direção e sinal das componentes; se
a mesma integração vale e o resultado se ajusta naturalmente (usar o valor de
com sinal). Limite quando
:
então
(componente limitada), enquanto
diverge logaritmicamente (contribuição de regiões distantes), o que é compatível com uma folha infinita que começa em
e vai até
.