Converta o ponto cartesiano (0,-5) para polar.

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto cartesiano (0,-5) para coordenadas polares.
Informações dadas:
  • A abscissa é x=0.
  • A ordenada é y=-5.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas e o significado das coordenadas polares. Em coordenadas polares um ponto é dado por (r,\theta), onde:
  • r é a distância do ponto à origem (sempre r\ge 0 quando usamos a representação padrão).
  • \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário, até o raio que liga a origem ao ponto.
As fórmulas de conversão do retangular (x,y) para polar são:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
e, em princípio,
\theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right),
porém a fórmula \arctan(y/x) é ambígua porque não distingue quadrantes. Uma forma segura é usar a função de quatro quadrantes \operatorname{atan2}(y,x) ou tratar casos especiais quando x=0 ou y=0.

Passo 3

Calcular r usando a fórmula:
r=\sqrt{0^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{25}=5.

Passo 4

Determinar \theta. Como x=0 temos um caso especial: o ponto está sobre o eixo y. Se x=0 então
  • se y>0 tem-se \theta=\tfrac{\pi}{2},
  • se y<0 tem-se \theta=\tfrac{3\pi}{2} ou, equivalentemente, \theta=-\tfrac{\pi}{2} (são representações angulares equivalentes, pois somando 2\pi obtém-se o mesmo raio).
No nosso caso y=-5<0, portanto o ângulo correspondente ao ponto sobre o eixo y negativo é \theta=\tfrac{3\pi}{2} se quisermos um ângulo no intervalo principal [0,2\pi). Uma representação alternativa comum é \theta=-\tfrac{\pi}{2} se preferirmos um ângulo no intervalo (-\pi,\pi].

Passo 5

Resumo didático: o raio vale r=5. O ponto está exatamente sobre o eixo negativo y, então o ângulo pode ser tomado como \theta=\tfrac{3\pi}{2} (representação em [0,2\pi)) ou como \theta=-\tfrac{\pi}{2} (representação em (-\pi,\pi]). Ambas representam o mesmo ponto em coordenadas polares.

Resposta

(5,\tfrac{3\pi}{2})
(5,-\tfrac{\pi}{2})

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