Converta os seguintes números para a forma retangular.
65 \angle 150^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá o número complexo no formato polar 65 \angle 150^{\circ} e pede para convertê-lo para a forma retangular. Informações fornecidas:
  • módulo (magnitude): \,65\,.
  • argumento (ângulo): 150^{\circ}.
O que é pedido: escrever o número na forma a + jb (ou a + ib), onde a é a parte real e b é a parte imaginária.

Passo 2

Fórmula de conversão polar → retangular. Se um número complexo está em polar como r \angle \theta, então a forma retangular é dada por
r\angle\theta = r\big(\cos\theta + j\sin\theta\big).
Aqui:
  • r é o módulo (distância ao origem);
  • \theta é o ângulo (em graus neste caso);
  • \cos\theta fornece a componente real normalizada;
  • \sin\theta fornece a componente imaginária normalizada;
  • j é a unidade imaginária (algumas áreas usam i, neste contexto elétrico costuma-se usar j).
No nosso caso, r=65 e \theta=150^{\circ}. Então basta calcular 65\cos150^{\circ} e 65\sin150^{\circ}.

Passo 3

Calcular \cos150^{\circ} e \sin150^{\circ} usando identidades do círculo trigonométrico. Como 150^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ}, vale:
\cos150^{\circ}=\cos(180^{\circ}-30^{\circ})=-\cos30^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2},
\sin150^{\circ}=\sin(180^{\circ}-30^{\circ})=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}.
Explicando rápido: no quadrante II o cosseno é negativo e o seno é positivo; os valores conhecidos para 30^{\circ} são \cos30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin30^{\circ}=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Substituir os valores na fórmula para obter as partes real e imaginária:
\text{parte real} = 65\cos150^{\circ} = 65\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{65\sqrt{3}}{2},
\text{parte imaginária} = 65\sin150^{\circ} = 65\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{65}{2}.á

Passo 5

Converter para forma explícita e também dar aproximação numérica (útil na prova se pedirem valor decimal). A forma exata é
65\angle150^{\circ} = -\frac{65\sqrt{3}}{2} + j\frac{65}{2}.
Agora a aproximação numérica. Calculando \sqrt{3}\approx1,7320508:
-\frac{65\sqrt{3}}{2}\approx -56,292\quad\text{e}\quad \frac{65}{2}=32,5.
Portanto a forma aproximada é -56,292 + j32,5.

Passo 6

Dica prática para a prova: decore a fórmula r(\cos\theta + j\sin\theta). Para ângulos notáveis (30°, 45°, 60° e combinações com 180°), use as identidades do círculo (ex.: \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha, \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha) para obter valores exatos sem calculadora. Sempre escreva primeiro a forma exata (com raízes e frações) e, se necessário, a aproximação decimal depois.

Resposta

-\dfrac{65\sqrt{3}}{2} + j\dfrac{65}{2}
\approx -56,292 + j32,5

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