Converta os seguintes números reais para binário:
32,375_{10}

Passo 1

O enunciado pede para converter o número 32,375_{10} (base decimal) para representação em base binária.
Informações dadas:
  • O número tem parte inteira 32 e parte fracionária 0,375.
    O objetivo é achar a representação binária juntando a conversão da parte inteira e da parte fracionária.

Passo 2

Explicação do método para a parte inteira (método das divisões sucessivas):
  • Para converter a parte inteira de base 10 para base 2, divide-se sucessivamente por 2 e guarda-se o resto de cada divisão.
  • Os restos, lidos de baixo para cima (último resto obtido primeiro), formam os dígitos binários da parte inteira (do bit menos significativo para o mais significativo).
    Aplicando a 32:
\begin{array}{rll} 32 \div 2 &=& 16\\ \text{com resto}\\\ 0,\\\\ 16 \div 2 &=& 8\\ \text{com resto}\\\ 0,\\\\ 8 \div 2 &=& 4\\ \text{com resto}\\\ 0,\\\\ 4 \div 2 &=& 2\\ \text{com resto}\\\ 0,\\\\ 2 \div 2 &=& 1\\ \text{com resto}\\\ 0,\\\\ 1 \div 2 &=& 0\\ \text{com resto}\\\ 1. \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos a parte inteira em binário: \,100000_2.
Breve interpretação: esse número corresponde a 1\cdot 2^{5}+0\cdot2^{4}+0\cdot2^{3}+0\cdot2^{2}+0\cdot2^{1}+0\cdot2^{0}=32.

Passo 3

Explicação do método para a parte fracionária (método das multiplicações por 2):
  • Para converter a parte fracionária x (com 0\le x<1) em binário, multiplica-se x por 2. O inteiro da multiplicação (0 ou 1) é o primeiro dígito binário após a vírgula; repete-se com a nova parte fracionária até obter resto zero ou até desejar precisão.
    Aplicando a 0,375:
\begin{array}{rll} 0,375 \times 2 &=& 0,75\quad\Rightarrow\\ \text{dígito}=0,\\[4pt] 0,75 \times 2 &=& 1,5\quad\Rightarrow\\ \text{dígito}=1\\ (\text{novo fracionário }0,5),\\[4pt] 0,5 \times 2 &=& 1,0\quad\Rightarrow\\ \text{dígito}=1\\ (\text{novo fracionário }0,0). \end{array}ííáíá
Como a parte fracionária chegou a 0,0, paramos. Os dígitos gerados, na ordem, são 0,1,1. Portanto a parte fracionária em binário é \,0,011_2 (usando vírgula como separador decimal).]

Passo 4

Juntando parte inteira e fracionária:
  • Parte inteira: \,100000_2.
  • Parte fracionária: \,0,011_2.
Logo a representação completa em binário é \,(100000,011)_2.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • A parte inteira dá 1\cdot2^{5}=32.
  • A parte fracionária dá 0\cdot2^{-1}+1\cdot2^{-2}+1\cdot2^{-3}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8}=0,375.
    Somando: 32+0,375=32,375. Confere com o número original.

Resposta

(100000,011)_2

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