Converta para o sistema octal.
1001111_{2}

Passo 1

O enunciado pede: converter para o sistema octal o número dado em binário 1001111_{2}.
Informações fornecidas:
  • O número em binário é 1001111_{2}.
  • A única pergunta é: qual é a representação desse número em base octal?

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): o sistema octal é base 8. Como 8 = 2^{3}, cada dígito octal corresponde exatamente a um bloco de três bits binários. Isso significa que, para converter de binário para octal de forma direta e rápida, basta agrupar os bits em tripletas de direita para esquerda e converter cada tripleta para um dígito octal.
Por que isso funciona?
  • Um bit tem peso 2^{0}=1 ou 2^{1}=2 etc. Três bits juntos representam valores de 0 a 2^{3}-1 = 7, que são precisamente os dígitos válidos em octal ( 0 a 7).
  • Portanto cada tripleta de bits é um número entre 0 e 7 e pode ser mapeada para um dígito octal.

Passo 3

Preparar o número binário para agrupar em tripletas:
  • Escrevemos o número binário: 1001111_{2}.
  • Agrupamos em blocos de 3 bits a partir da direita. Como o comprimento é 7 bits, a primeira (à esquerda) ficará incompleta. Podemos completar essa primeira tripleta adicionando zeros à esquerda — isso não altera o valor do número.
Fazendo a padronização:
  • Adiciona-se zeros à esquerda até o total de bits ser múltiplo de 3. Aqui adicionamos dois zeros.
  • Assim obtemos as tripletas (da esquerda para a direita): 001\;\;001\;\;111.

Passo 4

Converter cada tripleta em seu valor decimal (que será o dígito octal). Regra para uma tripleta abc (com a,b,c sendo 0 ou 1):
\text{valor} = a\cdot 2^{2} + b\cdot 2^{1} + c\cdot 2^{0}.
Aplicando às tripletas obtidas:
  • Para 001: 0\cdot 2^{2} + 0\cdot 2^{1} + 1\cdot 2^{0} = 1.
  • Para 001 (a segunda): 0\cdot 2^{2} + 0\cdot 2^{1} + 1\cdot 2^{0} = 1.
  • Para 111: 1\cdot 2^{2} + 1\cdot 2^{1} + 1\cdot 2^{0} = 4 + 2 + 1 = 7.

Passo 5

Interpretação dos resultados das tripletas:
  • As três tripletas produziram os dígitos octais (da esquerda para a direita): 1,\;1,\;7.
Observação de verificação (ensina uma checagem que dá segurança no exame): podemos transformar o binário em decimal para checar. Converter 1001111_{2} para decimal:
1001111_{2} = 1\cdot 2^{6} + 0\cdot 2^{5} + 0\cdot 2^{4} + 1\cdot 2^{3} + 1\cdot 2^{2} + 1\cdot 2^{1} + 1\cdot 2^{0}.
Calculando:
= 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 2 + 1 = 79.
Agora, o número octal formado pelos dígitos 1,1,7 corresponde a
1\cdot 8^{2} + 1\cdot 8^{1} + 7\cdot 8^{0} = 64 + 8 + 7 = 79,
confirmando que a conversão está correta.

Resposta

117_{8}

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