Converta para o sistema octal.
\quad 42 \mathrm{E} 5_{16}

Passo 1

O enunciado pede para converter o número 42E5_{16} (hexadecimal) para o sistema octal.
Informações relevantes fornecidas:
  • O número dado é 42E5_{16}.
  • Os dígitos hexadecimais presentes são 4, 2, E e 5.
  • Lembrar que o dígito hexadecimal \,E\, corresponde ao valor decimal 14, ou seja \,E_{16}=14_{10}.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática):
  • A base hexadecimal é 16, a base octal é 8 e a base binária é 2.
  • Como 16=2^4 e 8=2^3, cada dígito hexadecimal corresponde exatamente a 4 bits binários e cada dígito octal corresponde a 3 bits binários.
  • Portanto é prático passar primeiro de hexadecimal para binário (cada hex → 4 bits) e depois agrupar em blocos de 3 bits para obter os dígitos octais. Isso evita cálculos longos em decimal e é o método mais direto e confiável na prova.

Passo 3

Converter cada dígito hexadecimal em 4 bits binários (mapa e explicação):
  • Cada dígito hex é convertido para um bloco de 4 bits porque 16=2^4. Exibir os blocos:
    • 4_{16} = 0100_2
    • 2_{16} = 0010_2
    • E_{16} = 14_{10} = 1110_2
    • 5_{16} = 0101_2

Passo 4

Juntar os blocos binários na ordem dos dígitos hex para obter o número binário completo:
42E5_{16} \longrightarrow 0100\;0010\;1110\;0101_2
Esse é um total de 16 bits: 0100001011100101_2.

Passo 5

Agrupar em blocos de 3 bits (para formar dígitos octais):
  • Como precisamos de blocos de 3 e temos 16 bits, acrescentamos zeros à esquerda até totalizar um múltiplo de 3. 16 precisa subir para 18, então adicionamos dois zeros à esquerda.
\text{Binário com padding: } 00\,010\,000\,101\,110\,010\,101_2á
Escrito sem espaços: 000100001011100101_2. Agora há 6 blocos de 3 bits.

Passo 6

Converter cada bloco de 3 bits para o dígito octal correspondente (mapa simples 000\to0,\,001\to1, etc.):
  • 000_2 = 0_8
  • 100_2 = 4_8
  • 001_2 = 1_8
  • 011_2 = 3_8
  • 100_2 = 4_8
  • 101_2 = 5_8
Assim os dígitos octais, na mesma ordem, são 0,4,1,3,4,5. Eliminando o zero inicial desnecessário (não se escreve zero à esquerda), obtemos 41345_8.

Passo 7

Verificação (conferir que o valor decimal coincide):
  • Converter 42E5_{16} para decimal:
42E5_{16}=4\cdot16^3+2\cdot16^2+14\cdot16^1+5\cdot16^0
=4\cdot4096+2\cdot256+14\cdot16+5=16384+512+224+5=17125_{10}.
  • Converter 41345_8 para decimal:
41345_8=4\cdot8^4+1\cdot8^3+3\cdot8^2+4\cdot8^1+5\cdot8^0
=4\cdot4096+1\cdot512+3\cdot64+4\cdot8+5=16384+512+192+32+5=17125_{10}.
Os dois resultados coincidem, confirmação de que a conversão está correta.

Resposta

41345_8

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