Converta para o sistema octal.
\mathrm{A} 2 \mathrm{~F} 5_{16}

Passo 1

O que o enunciado pede: converter para o sistema octal o número hexadecimal \mathrm{A}2\mathrm{F}5_{16}.
Informações dadas:
  • O número em base hexadecimal é \mathrm{A}2\mathrm{F}5_{16}.
  • Cada dígito hexadecimal vale: \mathrm{A}=10, 2=2, \mathrm{F}=15, 5=5.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e rápida): a forma mais prática é passar de hexadecimal para binário (cada dígito hexadecimal corresponde a exatamente 4 bits) e então agrupar os bits em grupos de 3 (cada grupo de 3 bits corresponde a um dígito octal). Isso evita contas grandes em decimal e é método muito usado em provas porque é mecânico e rápido. Vou mostrar passo a passo.
Conceitos rápidos que vou usar:
  • Cada dígito hexadecimal (base 16) representa 4 bits (base 2), porque 16=2^4.
  • Cada dígito octal (base 8) representa 3 bits, porque 8=2^3.
  • Portanto, para converter de hex para octal basta: hex → binário (4 bits por dígito) → agrupar em trios de bits → octal.

Passo 3

Converter cada dígito hexadecimal para 4 bits binários (vou escrever o valor decimal do dígito e o correspondente em 4 bits):
  • Para \mathrm{A} (que vale 10): 10_{10} = 1010_{2}. Então \mathrm{A} \mapsto 1010.
  • Para 2: 2_{10} = 0010_{2}. Então 2 \mapsto 0010.
  • Para \mathrm{F} (que vale 15): 15_{10} = 1111_{2}. Então \mathrm{F} \mapsto 1111.
  • Para 5: 5_{10} = 0101_{2}. Então 5 \mapsto 0101.
Agora escrevo os blocos em sequência:
\mathrm{A}2\mathrm{F}5_{16} \longrightarrow 1010\;0010\;1111\;0101_{2}

Passo 4

Juntar os bits e preparar o agrupamento em trios (3 bits) para passar a octal. A sequência completa é
1010001011110101_{2}.
Como a quantidade de bits é 16 e 16 não é múltiplo de 3, adiciono zeros à esquerda até ter um múltiplo de 3. Como 16 \equiv 1 \pmod{3}, preciso adicionar 2 zeros à esquerda. Assim obtenho:
001010001011110101_{2}.
Agora dividimos essa sequência em grupos de 3 bits (da esquerda para a direita):
001\;010\;001\;011\;110\;101.

Passo 5

Converter cada grupo de 3 bits para o dígito octal correspondente (explicando cada um):
  • 001_{2} = 1_{8}.
  • 010_{2} = 2_{8}.
  • 001_{2} = 1_{8}.
  • 011_{2} = 3_{8}.
  • 110_{2} = 6_{8}.
  • 101_{2} = 5_{8}.
Portanto os dígitos octais, na mesma ordem, são 1,2,1,3,6,5. Juntando:
\mathrm{A}2\mathrm{F}5_{16} = 121365_{8}.

Passo 6

Verificação (cheque rápido usando conversão para decimal) para ter certeza e ganhar confiança na resposta:
  • Converter \mathrm{A}2\mathrm{F}5_{16} para decimal:
\mathrm{A}2\mathrm{F}5_{16} = 10\cdot16^{3} + 2\cdot16^{2} + 15\cdot16 + 5 = 40960 + 512 + 240 + 5 = 41717_{10}.
  • Converter 121365_{8} para decimal:
121365_{8} = 1\cdot8^{5} + 2\cdot8^{4} + 1\cdot8^{3} + 3\cdot8^{2} + 6\cdot8 + 5 = 32768 + 8192 + 512 + 192 + 48 + 5 = 41717_{10}.
Os dois dão o mesmo valor decimal 41717_{10}, logo a conversão está correta.

Resposta

121365_8

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