A coordenação de uma biblioteca afirma que a proporção
de livros do seu acervo publicados antes de 1970 é igual a
. Colhida uma amostra aleatória simples de 256 livros do acervo desta biblioteca. Obtenha o tamanho necessário da amostra a fim de que proporção amostral
difira de
em menos de 0,02, com probabilidade igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A biblioteca diz que 14% dos livros foram publicados antes de 1970. A gente pegou uma amostra aleatória de 256 livros e agora queremos descobrir qual o tamanho mínimo dessa amostra para que a proporção amostral
esteja dentro de 2% (ou 0,02) da proporção real
, com uma confiança de 97%.
Para resolver isso, vamos precisar entender de probabilidade e estatística, especificamente sobre como calcular o tamanho da amostra para estimar uma proporção com uma margem de erro e um nível de confiança específicos.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a fórmula que nos ajuda a calcular o tamanho da amostra necessário para uma proporção. A fórmula básica é:
Onde:
-
é o tamanho da amostra que queremos encontrar. -
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado. -
é a proporção estimada da população (neste caso, 0,14). -
é a margem de erro aceitável (neste caso, 0,02).
Passo 3
Vamos começar encontrando o valor de
que corresponde a um nível de confiança de 97%. O nível de confiança de 97% significa que queremos que a probabilidade de a proporção amostral
estar dentro de 2% da proporção real
seja de 97%.
Para achar o valor de
, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora de estatística. Como é um intervalo de confiança bilateral, dividimos o excesso de probabilidade igualmente em ambas as caudas da distribuição.
Então, precisamos encontrar
tal que:
Isso significa que cada cauda terá
de probabilidade.
Usando a tabela ou calculadora, encontramos que
.
Passo 4
Agora que temos o valor de
, podemos substituir todos os valores na fórmula para calcular
.
Lembrando:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos o numerador:
Então:
Agora, o denominador:
Passo 6
Finalmente, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar
:
Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
O tamanho necessário da amostra é de 1.418 livros para que a proporção amostral difira de
em menos de 0,02, com 97% de probabilidade.