A coordenação de uma biblioteca afirma que a proporção p de livros do seu acervo publicados antes de 1970 é igual a 14 %. Colhida uma amostra aleatória simples de 256 livros do acervo desta biblioteca. Obtenha o tamanho necessário da amostra a fim de que proporção amostral p difira de p em menos de 0,02, com probabilidade igual a 97 %.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A biblioteca diz que 14% dos livros foram publicados antes de 1970. A gente pegou uma amostra aleatória de 256 livros e agora queremos descobrir qual o tamanho mínimo dessa amostra para que a proporção amostral p esteja dentro de 2% (ou 0,02) da proporção real p = 0,14, com uma confiança de 97%.
Para resolver isso, vamos precisar entender de probabilidade e estatística, especificamente sobre como calcular o tamanho da amostra para estimar uma proporção com uma margem de erro e um nível de confiança específicos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a fórmula que nos ajuda a calcular o tamanho da amostra necessário para uma proporção. A fórmula básica é:
n = ( z^2 cdot p cdot (1 - p)E^2 )
Onde:
  • n é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
  • z é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
  • p é a proporção estimada da população (neste caso, 0,14).
  • E é a margem de erro aceitável (neste caso, 0,02).

Passo 3

Vamos começar encontrando o valor de z que corresponde a um nível de confiança de 97%. O nível de confiança de 97% significa que queremos que a probabilidade de a proporção amostral p estar dentro de 2% da proporção real p seja de 97%.
Para achar o valor de z, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora de estatística. Como é um intervalo de confiança bilateral, dividimos o excesso de probabilidade igualmente em ambas as caudas da distribuição.
Então, precisamos encontrar z tal que:
P(-z < Z < z) = 0,97
Isso significa que cada cauda terá (1 - 0,97)/2 = 0,015 de probabilidade.
Usando a tabela ou calculadora, encontramos que z approx 2,17.

Passo 4

Agora que temos o valor de z, podemos substituir todos os valores na fórmula para calcular n.
Lembrando:
  • z = 2,17
  • p = 0,14
  • E = 0,02
Substituindo na fórmula:
n = ( (2,17)^2 cdot 0,14 cdot (1 - 0,14)(0,02)^2 )

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos o numerador:
(2,17)^2 = 4,7089
0,14 cdot (1 - 0,14) = 0,14 cdot 0,86 = 0,1204
Então:
4,7089 cdot 0,1204 = 0,567
Agora, o denominador:
(0,02)^2 = 0,0004

Passo 6

Finalmente, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar n:
n = 0,5670,0004 = 1417,5
Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para cima:
n = 1418

Resposta

O tamanho necessário da amostra é de 1.418 livros para que a proporção amostral difira de p em menos de 0,02, com 97% de probabilidade.

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