Coordenadas Cíclicas (Ignoráveis): Defina uma coordenada cíclica no formalismo de Hamilton. Explique como a presença de uma coordenada cíclica (que não aparece explicitamente na Hamiltoniana) simplifica a resolução do
problema e por que a quantidade de movimento generalizada conjugada a essa coordenada é uma constante de movimento.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
Definir o que é uma coordenada cíclica no formalismo de Hamilton.
Explicar como a presença de uma coordenada cíclica (ou seja, uma coordenada que não aparece explicitamente na Hamiltoniana) simplifica a resolução do problema.
Explicar por que a quantidade de movimento generalizada conjugada a essa coordenada é uma constante do movimento.
Informações relevantes que temos: trabalhamos no formalismo Hamiltoniano com coordenadas generalizadas \{q_i\} e momentos conjugados \{p_i\}; existe uma Hamiltoniana H(q,p,t) e devemos supor que a questão é bem formulada (ou seja, é possível falar de \partial H/\partial q_k, das equações de Hamilton, etc.). Nada mais é pedido explicitamente.
Passo 2
Rápida revisão do formalismo (para eu e você ficarmos no mesmo ritmo).
Coordenadas generalizadas: \{q_i\} são as variáveis que descrevem a configuração do sistema. Cada q_i pode depender do tempo.
Momentos conjugados: para cada q_i definimos o momento conjugado
p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i},
onde L(q,\dot q,t) é o lagrangiano e \dot q_i é a derivada temporal de q_i. Aqui p_i tem o significado físico de “quantidade de movimento generalizada” associada a q_i.
Transformação de Legendre e Hamiltoniana: a Hamiltoniana é
H(q,p,t)=\sum_i p_i\dot q_i - L(q,\dot q,t),
onde, ao escrever H, entendemos \dot q_i expressos em função de (q,p,t) via a relação p_i=\partial L/\partial\dot q_i.
Equações de Hamilton (essas são as ferramentas que vamos usar):
Aqui \dot q_i é a velocidade generalizada e \dot p_i a variação temporal do momento conjugado.
Explicação das variáveis nas fórmulas: em \partial H/\partial p_i derivamos H mantendo todas as outras variáveis fixas; em \partial H/\partial q_i derivamos em relação a q_i mantendo p e t fixos.
Passo 3
Definição precisa de coordenada cíclica no formalismo de Hamilton.
Dizemos que a coordenada q_k é cíclica (ou ignóravel) se a Hamiltoniana não depende explicitamente de q_k. Em símbolos:
\frac{\partial H}{\partial q_k}=0.
Interpretando: a energia (Hamiltoniana) não “vê” variações em q_k; o valor de q_k pode ser mudado infinitesimalmente sem alterar H. Em linguagem de simetria, isso corresponde a uma invariância de H sob translações nessa coordenada.
Passo 4
Por que a quantidade de movimento conjugada a uma coordenada cíclica é constante.
Começo com a equação de Hamilton para o momento p_k:
\dot p_k=-\frac{\partial H}{\partial q_k}.
Se q_k é cíclica então \partial H/\partial q_k=0. Logo
\dot p_k=0.
Conclusão lógica: \dot p_k=0 implica que p_k é constante no tempo. Em outras palavras,
p_k(t)=\text{constante} .
Intuição: como H não depende de q_k, nada “puxa” o momento conjugado nessa direção; portanto ele não muda.
Passo 5
Conexão física e Noether (intuição sobre simetria).
A ausência de q_k em H significa que o sistema é invariante sob deslocamentos (ou rotações, dependendo do que é q_k) na direção q_k.
Pelo teorema de Noether (versão intuitiva), cada simetria contínua corresponde a uma quantidade conservada. Aqui a simetria é a transformação q_k\mapsto q_k+\varepsilon (pequena constante \varepsilon) que deixa H inalterado. A quantidade conservada que surge é exatamente o momento conjugado p_k.
Exemplos comuns: invariância sob translação em x ⇔ conservação de p_x; invariância sob rotação em torno do eixo z (coordenada angular \varphi é cíclica) ⇔ conservação do momento angular p_\varphi.
Passo 6
Como a presença de uma coordenada cíclica simplifica a resolução do problema — procedimento prático passo a passo.
Identificar q_k tal que \partial H/\partial q_k=0.
Usar \dot p_k=0 para definir p_k=p_k^{(0)}, uma constante cujo valor pode ser determinado pelas condições iniciais.
Substituir p_k=p_k^{(0)} na Hamiltoniana para obter uma Hamiltoniana reduzida que depende somente das coordenadas e momentos restantes:
Como o lado direito depende apenas das variáveis já resolvidas e de p_k^{(0)}, essa é uma integral simples (frequentemente uma primitiva direta).
Comentário prático de prova: frequentemente basta reconhecer a coordenada cíclica para escrever imediatamente o movimento conservado e reduzir o problema; isso economiza muito tempo.
Passo 7
Exemplo concreto e totalmente mastigado: partícula em plano com potencial central (mostra todos os passos).
Escolhemos coordenadas polares \{r,\varphi\}. A Hamiltoniana para uma partícula de massa m em potencial V(r) (dependendo só de r) é
Conclusão: reduzir o problema pela conservação de \ell transformou um sistema de duas equações acopladas em um problema unidimensional mais simples seguido por uma integração para \varphi. Isso é exatamente a simplificação prática que a presença de uma coordenada cíclica proporciona.
Passo 8
Outras observações úteis para prova (dicas e subtilezas)
Identificar coordenadas cíclicas: basta olhar para H(q,p,t) e ver quais q_i não aparecem. Atenção: se H depende de q_k apenas por meio de uma combinação com o tempo ou se há dependência implícita via restrições, a análise muda; aqui tratamos do caso padrão em que \partial H/\partial q_k=0.
Coordenada cíclica no Lagrangiano vs Hamiltoniano: muitas vezes se diz que q_k é ignóravel se não aparece no lagrangiano L; essa propriedade se transporta para H na maioria dos casos regulares. O raciocínio para conservação via Euler–Lagrange dá o mesmo resultado: \dot p_k=0.
Transformações canônicas: coordenadas cíclicas são ótimas para procurar transformações canônicas que simplifiquem ainda mais o sistema (por exemplo, ação-ângulo em sistemas integráveis).
Se H depende explicitamente do tempo t, a conservação de p_k por ser cíclica em q_k continua válida (porque a derivada usada é \partial H/\partial q_k); entretanto, a energia H pode não ser conservada se \partial H/\partial t\ne 0.
Passo 9
Resumo final e motivacional (curto e firme)
Identificar uma coordenada cíclica é uma das estratégias mais poderosas em provas: te dá uma constante de movimento na hora, reduz o número de equações e transforma movimentos acoplados em quadraturas mais simples.
Se estiver com pouco tempo na prova: primeiro procure coordenadas ausentes na Hamiltoniana, escreva imediatamente \dot p_k=0 e use a constante para reduzir o sistema. Isso frequentemente resolve boa parte do problema com economia de esforço.
Resposta
Uma coordenada q_k é chamada de cíclica (ou ignóravel) no formalismo de Hamilton se a Hamiltoniana não depende explicitamente dela, isto é,
\frac{\partial H}{\partial q_k}=0.
Da equação de Hamilton \dot p_k=-\partial H/\partial q_k segue que \dot p_k=0, logo o momento conjugado p_k é constante no tempo (constante de movimento). A presença de uma coordenada cíclica simplifica a resolução porque permite fixar p_k= constante, substituir esse valor na Hamiltoniana e obter um problema reduzido com menos graus de liberdade; depois resolve-se as equações reduzidas e, por fim, integra-se \dot q_k=\partial H/\partial p_k para recuperar q_k(t). Esta conservação é a manifestação no formalismo Hamiltoniano da simetria contínua (Noether): invariância de H por deslocamentos em q_k corresponde à conservação de p_k.