Coordenadas Cíclicas (Ignoráveis): Defina uma coordenada cíclica no formalismo de Hamilton. Explique como a presença de uma coordenada cíclica (que não aparece explicitamente na Hamiltoniana) simplifica a resolução do
problema e por que a quantidade de movimento generalizada conjugada a essa coordenada é uma constante de movimento.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  1. Definir o que é uma coordenada cíclica no formalismo de Hamilton.
  2. Explicar como a presença de uma coordenada cíclica (ou seja, uma coordenada que não aparece explicitamente na Hamiltoniana) simplifica a resolução do problema.
  3. Explicar por que a quantidade de movimento generalizada conjugada a essa coordenada é uma constante do movimento.
Informações relevantes que temos: trabalhamos no formalismo Hamiltoniano com coordenadas generalizadas \{q_i\} e momentos conjugados \{p_i\}; existe uma Hamiltoniana H(q,p,t) e devemos supor que a questão é bem formulada (ou seja, é possível falar de \partial H/\partial q_k, das equações de Hamilton, etc.). Nada mais é pedido explicitamente.

Passo 2

Rápida revisão do formalismo (para eu e você ficarmos no mesmo ritmo).
  • Coordenadas generalizadas: \{q_i\} são as variáveis que descrevem a configuração do sistema. Cada q_i pode depender do tempo.
  • Momentos conjugados: para cada q_i definimos o momento conjugado
p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i},
onde L(q,\dot q,t) é o lagrangiano e \dot q_i é a derivada temporal de q_i. Aqui p_i tem o significado físico de “quantidade de movimento generalizada” associada a q_i.
  • Transformação de Legendre e Hamiltoniana: a Hamiltoniana é
H(q,p,t)=\sum_i p_i\dot q_i - L(q,\dot q,t),
onde, ao escrever H, entendemos \dot q_i expressos em função de (q,p,t) via a relação p_i=\partial L/\partial\dot q_i.
  • Equações de Hamilton (essas são as ferramentas que vamos usar):
\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\qquad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}.
Aqui \dot q_i é a velocidade generalizada e \dot p_i a variação temporal do momento conjugado.
Explicação das variáveis nas fórmulas: em \partial H/\partial p_i derivamos H mantendo todas as outras variáveis fixas; em \partial H/\partial q_i derivamos em relação a q_i mantendo p e t fixos.

Passo 3

Definição precisa de coordenada cíclica no formalismo de Hamilton.
  • Dizemos que a coordenada q_k é cíclica (ou ignóravel) se a Hamiltoniana não depende explicitamente de q_k. Em símbolos:
\frac{\partial H}{\partial q_k}=0.
  • Interpretando: a energia (Hamiltoniana) não “vê” variações em q_k; o valor de q_k pode ser mudado infinitesimalmente sem alterar H. Em linguagem de simetria, isso corresponde a uma invariância de H sob translações nessa coordenada.

Passo 4

Por que a quantidade de movimento conjugada a uma coordenada cíclica é constante.
  • Começo com a equação de Hamilton para o momento p_k:
\dot p_k=-\frac{\partial H}{\partial q_k}.
  • Se q_k é cíclica então \partial H/\partial q_k=0. Logo
\dot p_k=0.
  • Conclusão lógica: \dot p_k=0 implica que p_k é constante no tempo. Em outras palavras,
p_k(t)=\text{constante} .
  • Intuição: como H não depende de q_k, nada “puxa” o momento conjugado nessa direção; portanto ele não muda.

Passo 5

Conexão física e Noether (intuição sobre simetria).
  • A ausência de q_k em H significa que o sistema é invariante sob deslocamentos (ou rotações, dependendo do que é q_k) na direção q_k.
  • Pelo teorema de Noether (versão intuitiva), cada simetria contínua corresponde a uma quantidade conservada. Aqui a simetria é a transformação q_k\mapsto q_k+\varepsilon (pequena constante \varepsilon) que deixa H inalterado. A quantidade conservada que surge é exatamente o momento conjugado p_k.
  • Exemplos comuns: invariância sob translação em x ⇔ conservação de p_x; invariância sob rotação em torno do eixo z (coordenada angular \varphi é cíclica) ⇔ conservação do momento angular p_\varphi.

Passo 6

Como a presença de uma coordenada cíclica simplifica a resolução do problema — procedimento prático passo a passo.
  1. Identificar q_k tal que \partial H/\partial q_k=0.
  2. Usar \dot p_k=0 para definir p_k=p_k^{(0)}, uma constante cujo valor pode ser determinado pelas condições iniciais.
  3. Substituir p_k=p_k^{(0)} na Hamiltoniana para obter uma Hamiltoniana reduzida que depende somente das coordenadas e momentos restantes:
H_{\text{reduz}}(q_{i\ne k},p_{i\ne k},t)=H\big(q_{i\ne k},q_k,\;p_{i\ne k},p_k^{(0)},t\big),
mas como H não depende de q_k, na prática
H_{\text{reduz}}=H\big(q_{i\ne k},p_{i\ne k};p_k^{(0)},t\big).
  1. Resolver o sistema de equações de Hamilton reduzido para (q_{i\ne k},p_{i\ne k}). Isso diminui o número de equações e, normalmente, a dificuldade.
  2. Depois de obter as outras variáveis, recuperar q_k(t) integrando
\dot q_k=\frac{\partial H}{\partial p_k}\bigg|_{p_k=p_k^{(0)}}.
Como o lado direito depende apenas das variáveis já resolvidas e de p_k^{(0)}, essa é uma integral simples (frequentemente uma primitiva direta).
Comentário prático de prova: frequentemente basta reconhecer a coordenada cíclica para escrever imediatamente o movimento conservado e reduzir o problema; isso economiza muito tempo.

Passo 7

Exemplo concreto e totalmente mastigado: partícula em plano com potencial central (mostra todos os passos).
  • Escolhemos coordenadas polares \{r,\varphi\}. A Hamiltoniana para uma partícula de massa m em potencial V(r) (dependendo só de r) é
H=\frac{p_r^2}{2m}+\frac{p_\varphi^2}{2mr^2}+V(r).
Aqui p_r e p_\varphi são os momentos conjugados a r e \varphi, respectivamente.
  • Observação: notei que H não depende de \varphi explicitamente — peguei isso da expressão acima — então \varphi é coordenada cíclica.
  • Pela equação de Hamilton:
\dot p_\varphi=-\frac{\partial H}{\partial \varphi}=0,
logo
p_\varphi=\ell=\text{constante},
que é o momento angular conservado.
  • Substituo p_\varphi=\ell em H para obter o problema reduzido em r:
H_{\text{reduz}}(r,p_r)=\frac{p_r^2}{2m}+V_{\text{eff}}(r),
onde definimos o potencial efetivo
V_{\text{eff}}(r)=V(r)+\frac{\ell^2}{2mr^2}.
  • Agora o movimento radial obedece a um problema unidimensional clássico: energia conservada E=H_{\text{reduz}}. Resolvo p_r por
p_r=\pm\sqrt{2m\big(E-V_{\text{eff}}(r)\big)},
e obtenho r(t) via quadratura
t-t_0=\pm\int_{r(t_0)}^{r(t)}\frac{dr}{\sqrt{\dfrac{2}{m}\big(E-V_{\text{eff}}(r)\big)}}.
  • Depois de achar r(t), recupero \varphi(t) integrando
\dot\varphi=\frac{\partial H}{\partial p_\varphi}=\frac{p_\varphi}{mr^2}=\frac{\ell}{mr^2(t)}.
Assim
\varphi(t)=\varphi(t_0)+\int_{t_0}^{t}\frac{\ell}{mr^2(t')}\,dt'.
  • Conclusão: reduzir o problema pela conservação de \ell transformou um sistema de duas equações acopladas em um problema unidimensional mais simples seguido por uma integração para \varphi. Isso é exatamente a simplificação prática que a presença de uma coordenada cíclica proporciona.

Passo 8

Outras observações úteis para prova (dicas e subtilezas)
  • Identificar coordenadas cíclicas: basta olhar para H(q,p,t) e ver quais q_i não aparecem. Atenção: se H depende de q_k apenas por meio de uma combinação com o tempo ou se há dependência implícita via restrições, a análise muda; aqui tratamos do caso padrão em que \partial H/\partial q_k=0.
  • Coordenada cíclica no Lagrangiano vs Hamiltoniano: muitas vezes se diz que q_k é ignóravel se não aparece no lagrangiano L; essa propriedade se transporta para H na maioria dos casos regulares. O raciocínio para conservação via Euler–Lagrange dá o mesmo resultado: \dot p_k=0.
  • Transformações canônicas: coordenadas cíclicas são ótimas para procurar transformações canônicas que simplifiquem ainda mais o sistema (por exemplo, ação-ângulo em sistemas integráveis).
  • Se H depende explicitamente do tempo t, a conservação de p_k por ser cíclica em q_k continua válida (porque a derivada usada é \partial H/\partial q_k); entretanto, a energia H pode não ser conservada se \partial H/\partial t\ne 0.

Passo 9

Resumo final e motivacional (curto e firme)
  • Identificar uma coordenada cíclica é uma das estratégias mais poderosas em provas: te dá uma constante de movimento na hora, reduz o número de equações e transforma movimentos acoplados em quadraturas mais simples.
  • Se estiver com pouco tempo na prova: primeiro procure coordenadas ausentes na Hamiltoniana, escreva imediatamente \dot p_k=0 e use a constante para reduzir o sistema. Isso frequentemente resolve boa parte do problema com economia de esforço.

Resposta

Uma coordenada q_k é chamada de cíclica (ou ignóravel) no formalismo de Hamilton se a Hamiltoniana não depende explicitamente dela, isto é,
\frac{\partial H}{\partial q_k}=0.
Da equação de Hamilton \dot p_k=-\partial H/\partial q_k segue que \dot p_k=0, logo o momento conjugado p_k é constante no tempo (constante de movimento). A presença de uma coordenada cíclica simplifica a resolução porque permite fixar p_k= constante, substituir esse valor na Hamiltoniana e obter um problema reduzido com menos graus de liberdade; depois resolve-se as equações reduzidas e, por fim, integra-se \dot q_k=\partial H/\partial p_k para recuperar q_k(t). Esta conservação é a manifestação no formalismo Hamiltoniano da simetria contínua (Noether): invariância de H por deslocamentos em q_k corresponde à conservação de p_k.

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