Hamiltoniana vs. Energia: A Hamiltoniana () é obtida da Lagrangiana por uma Transformação de Legendre. Sob quais duas condições específicas o valor da Hamiltoniana é igual à Energia Total () do sistema, e em que situação um sistema pode ter energia conservada ( constante), mas ?.

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar quando a Hamiltoniana \;H\; (obtida da Lagrangiana por Transformação de Legendre) é igual à Energia Total \;E\; do sistema, e dar um exemplo/situação em que o sistema tem energia conservada (constante) mas \;H\neq E\;.
Informações relevantes dadas / que usaremos:
  • A Hamiltoniana é definida pela Transformação de Legendre a partir da Lagrangiana L(q,\dot q,t).
  • A energia total mecânica usual escreve-se como E=T+V (energia cinética T mais potencial V).
  • Temos as definições canônicas: os momentos generalizados p_i=\partial L/\partial\dot q_i e a Hamiltoniana
H(q,p,t)=\sum_i p_i\dot q_i - L(q,\dot q,t),
onde implicitamente \dot q foi expressado em função de p (inversão da relação p(\dot q)).
  • O enunciado pede duas condições específicas que garantem H=E e uma situação em que energia é conservada mas H\neq E.

Passo 2

Definições e ideia-chave (aula-micro sobre Legendre e energia):
  • A Transformação de Legendre serve para trocar as variáveis \dot q_i por p_i. Definimos
p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}, \qquad H(q,p,t)=\sum_i p_i\dot q_i - L(q,\dot q,t),
com as \dot q_i escritas em termos de (q,p,t) se possível. Aqui H é uma função canônica (em termos de q,p).
  • A energia mecânica “física” que costumamos chamar de energia total é
E(q,\dot q,t)=T(q,\dot q)+V(q,t),
em problemas onde faz sentido separar L=T-V.
  • Um ponto técnico importante: para que a Transformação de Legendre dê uma Hamiltoniana bem definida precisamos que a relação p(\dot q) seja invertível (Hessiano \partial^2 L/\partial\dot q_i\partial\dot q_j não singular). Se isso falhar, não existe H(q,p,t) padrão.

Passo 3

A ferramenta matemática que usamos para vincular H e E: Euler para funções homogêneas.
  • Se uma função f(\dot q) é homogênea de grau k em \dot q (isto é, f(\lambda\dot q)=\lambda^k f(\dot q)), então pela identidade de Euler
\sum_i \dot q_i \frac{\partial f}{\partial \dot q_i}=k f(\dot q).
  • No contexto mecânico, o termo cinético usual T é homogêneo de grau 2 em \dot q (energia cinética normalmente \tfrac12 m_{ij}(q)\dot q_i\dot q_j). Termos lineares em \dot q (grau 1) aparecem por exemplo em acoplamento minimal com campo magnético, e termos de grau 0 são potenciais dependentes só de q (ou de q,t).

Passo 4

Derivação direta (passo a passo) que mostra uma condição suficiente para H=E.
  • Escrevemos a Lagrangiana como soma de componentes homogêneas por grau em \dot q:
L(q,\dot q,t)=L_2(q,\dot q)+L_1(q,\dot q)+L_0(q,t),
onde L_k é homogênea de grau k em \dot q. Em problemas físicos usuais, L_2 é T, L_1 pode representar termos lineares em velocidade (ex.: q\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}), e L_0 é o termo sem velocidade (normalmente -V(q,t)).
  • Calculemos \sum_i p_i\dot q_i. Como p_i=\partial L/\partial\dot q_i,
\sum_i p_i\dot q_i = \sum_i \dot q_i\frac{\partial}{\partial\dot q_i}(L_2+L_1+L_0) = 2L_2 + 1\cdot L_1 + 0\cdot L_0 = 2L_2 + L_1,
onde usei a identidade de Euler para os termos homogêneos.
  • A Hamiltoniana é
H=\sum_i p_i\dot q_i - L = (2L_2+L_1) - (L_2+L_1+L_0) = L_2 - L_0.
  • Se identificarmos T=L_2 e L_0=-V (ou seja, L=L_2+L_1 - V), então
H = T + V = E.
Portanto, sob essas hipóteses a Hamiltoniana coincide exatamente com a energia mecânica.

Passo 5

Resumo das duas condições específicas (colocas em linguagem direta e testável):
  1. Estrutura da Lagrangiana: a Lagrangiana deve poder ser escrita como
L(q,\dot q,t)=T(q,\dot q)+\text{(eventuais termos lineares em }\dot q\text{)} - V(q,t),
com T homogênea de grau 2 em \dot q (energia cinética quadrática) e V dependendo só de q (pode depender de t também). Em termos práticos: o termo dependente de velocidade de maior grau deve ser o quadrático (o “T”), e não deve haver termos sem interpretação de potencial que sejam de grau zero em \dot q. Com essa decomposição a identidade de Euler leva a H=T+V.
2) Legendre regular: a transformação deve ser bem definida (a matriz \partial^2 L/\partial\dot q_i\partial\dot q_j deve ser invertível), para que possamos escrever H como função de (q,p,t). Sem essa invertibilidade não temos a Hamiltoniana padrão e a comparação com E perde sentido.
Observação importante sobre conservação: a igualdade H=E é uma igualdade ponto a ponto (a Hamiltoniana num dado estado iguala a energia instantânea), mas para que essa quantidade seja conservada (constante no tempo) precisarmos ainda que L não dependa explicitamente do tempo, isto é \partial L/\partial t=0. Se L depende explicitamente de t, H pode ser igual a E instantaneamente mas não será necessariamente conservada.

Passo 6

Quando energia pode ser conservada mas \;H\neq E\;: explicação conceitual e exemplo prático (didático).
  • A situação típica em que as equações de movimento e a energia física permanecem inalteradas, mas a Hamiltoniana muda, é quando se modifica a Lagrangiana por uma derivada total em tempo:
L'(q,\dot q,t)=L(q,\dot q,t)+\frac{d}{dt}F(q,t).
Essa adição não altera as equações de movimento (mesma ação até contorno), mas modifica os momentos canônicos e a Hamiltoniana. Uma conta curta dá
H' = H - \frac{\partial F}{\partial t}.
  • Consequência: se F depende explicitamente de t então H' difere de H por -\partial_t F. A energia mecânica física E=T+V (que vem da forma de L sem o termo total) pode ser conservada por simetria temporal (por exemplo L original autônoma), porém a Hamiltoniana construída a partir de L' pode ser deslocada e portanto H'\neq E — mesmo podendo ser constante dependendo de \partial_t F.
  • Exemplo simples e explícito: tome L=\tfrac12 m\dot x^2 - V(x) (autônoma → energia E conservada). Defina F(x,t)=\alpha(t) com \alpha função do tempo só. Então
L'=L+\dot\alpha(t).
Aqui \partial_t F=\dot\alpha(t), e a nova Hamiltoniana satisfaz H'=H-\dot\alpha(t). Se \dot\alpha não é zero constante, H' não é igual a H nem a E, mesmo que as equações de movimento e a energia mecânica E (aquela que vem de T+V) continuem as mesmas. Um caso físico típico é uma transformação de calibre nos potenciais eletromagnéticos: a mudança de calibre acrescenta um total derivada em L que muda a Hamiltoniana canônica mas não a energia física do sistema.

Passo 7

Resumo didático final (para usar na prova — checklist rápido):
  • Para checar se H=E: escreva L e separe por graus em \dot q. Se o termo de grau 2 é o T e o termo de grau 0 é -V (permitindo termos lineares em \dot q sem problema), então, usando Euler, você obtém H=T+V.
  • Para saber se essa quantidade é conservada: verifique se \partial L/\partial t=0. Se sim → H (logo E) é constante no tempo. Se não → H (mesmo sendo igual a E instantaneamente) não será necessariamente conservada.
  • Para ver se pode haver E conservada mas H\neq E: pense em adicionar dF/dt à Lagrangiana com F dependendo de t; as equações e a energia física podem permanecer, mas a Hamiltoniana canônica muda.

Resposta

  1. A Hamiltoniana coincide com a energia total quando: (i) a Lagrangiana pode ser escrita como L=T(q,\dot q)+L_1(q,\dot q)-V(q,t) com T homogênea de grau 2 em \dot q (energia cinética quadrática) e V independente de \dot q (potencial), e (ii) a Transformação de Legendre é regular (a relação p=\partial L/\partial\dot q pode ser invertida). Nessas hipóteses, por Euler, H=T+V=E.\n2) Um sistema pode ter a energia mecânica E conservada mas H\neq E se a Lagrangiana usada para construir H difere da Lagrangiana “natural” por uma derivada total de uma função com dependência temporal F(q,t); isto altera H por -\partial F/\partial t (ex.: mudança de calibre em potenciais eletromagnéticos), deixando as equações e a energia física inalteradas, mas fazendo H diferente de E.

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