Hamiltoniana vs. Energia: A Hamiltoniana () é obtida da Lagrangiana por uma Transformação de Legendre. Sob quais duas condições específicas o valor da Hamiltoniana é igual à Energia Total () do sistema, e em que situação um sistema pode ter energia conservada ( constante), mas ?.
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar quando a Hamiltoniana
(obtida da Lagrangiana por Transformação de Legendre) é igual à Energia Total
do sistema, e dar um exemplo/situação em que o sistema tem energia conservada (constante) mas
.
Informações relevantes dadas / que usaremos:
- A Hamiltoniana é definida pela Transformação de Legendre a partir da Lagrangiana
. - A energia total mecânica usual escreve-se como
(energia cinética mais potencial ). - Temos as definições canônicas: os momentos generalizados
e a Hamiltoniana
onde implicitamente
foi expressado em função de
(inversão da relação
).
- O enunciado pede duas condições específicas que garantem
e uma situação em que energia é conservada mas .
Passo 2
Definições e ideia-chave (aula-micro sobre Legendre e energia):
- A Transformação de Legendre serve para trocar as variáveis
por . Definimos
com as
escritas em termos de
se possível. Aqui
é uma função canônica (em termos de
).
- A energia mecânica “física” que costumamos chamar de energia total é
em problemas onde faz sentido separar
.
- Um ponto técnico importante: para que a Transformação de Legendre dê uma Hamiltoniana bem definida precisamos que a relação
seja invertível (Hessiano não singular). Se isso falhar, não existe padrão.
Passo 3
A ferramenta matemática que usamos para vincular
e
: Euler para funções homogêneas.
- Se uma função
é homogênea de grau em (isto é, ), então pela identidade de Euler
- No contexto mecânico, o termo cinético usual
é homogêneo de grau em (energia cinética normalmente ). Termos lineares em (grau ) aparecem por exemplo em acoplamento minimal com campo magnético, e termos de grau são potenciais dependentes só de (ou de ).
Passo 4
Derivação direta (passo a passo) que mostra uma condição suficiente para
.
- Escrevemos a Lagrangiana como soma de componentes homogêneas por grau em
:
onde
é homogênea de grau
em
. Em problemas físicos usuais,
é
,
pode representar termos lineares em velocidade (ex.:
), e
é o termo sem velocidade (normalmente
).
- Calculemos
. Como ,
onde usei a identidade de Euler para os termos homogêneos.
- A Hamiltoniana é
- Se identificarmos
e (ou seja, ), então
Portanto, sob essas hipóteses a Hamiltoniana coincide exatamente com a energia mecânica.
Passo 5
Resumo das duas condições específicas (colocas em linguagem direta e testável):
- Estrutura da Lagrangiana: a Lagrangiana deve poder ser escrita como
com
homogênea de grau
em
(energia cinética quadrática) e
dependendo só de
(pode depender de
também). Em termos práticos: o termo dependente de velocidade de maior grau deve ser o quadrático (o “T”), e não deve haver termos sem interpretação de potencial que sejam de grau zero em
. Com essa decomposição a identidade de Euler leva a
.
2) Legendre regular: a transformação deve ser bem definida (a matriz deve ser invertível), para que possamos escrever
como função de
. Sem essa invertibilidade não temos a Hamiltoniana padrão e a comparação com
perde sentido.
2) Legendre regular: a transformação deve ser bem definida (a matriz
Observação importante sobre conservação: a igualdade
é uma igualdade ponto a ponto (a Hamiltoniana num dado estado iguala a energia instantânea), mas para que essa quantidade seja conservada (constante no tempo) precisarmos ainda que
não dependa explicitamente do tempo, isto é
. Se
depende explicitamente de
,
pode ser igual a
instantaneamente mas não será necessariamente conservada.
Passo 6
Quando energia pode ser conservada mas
: explicação conceitual e exemplo prático (didático).
- A situação típica em que as equações de movimento e a energia física permanecem inalteradas, mas a Hamiltoniana muda, é quando se modifica a Lagrangiana por uma derivada total em tempo:
Essa adição não altera as equações de movimento (mesma ação até contorno), mas modifica os momentos canônicos e a Hamiltoniana. Uma conta curta dá
- Consequência: se
depende explicitamente de então difere de por . A energia mecânica física (que vem da forma de sem o termo total) pode ser conservada por simetria temporal (por exemplo original autônoma), porém a Hamiltoniana construída a partir de pode ser deslocada e portanto — mesmo podendo ser constante dependendo de . - Exemplo simples e explícito: tome
(autônoma → energia conservada). Defina com função do tempo só. Então
Aqui
, e a nova Hamiltoniana satisfaz
. Se
não é zero constante,
não é igual a
nem a
, mesmo que as equações de movimento e a energia mecânica
(aquela que vem de
) continuem as mesmas. Um caso físico típico é uma transformação de calibre nos potenciais eletromagnéticos: a mudança de calibre acrescenta um total derivada em
que muda a Hamiltoniana canônica mas não a energia física do sistema.
Passo 7
Resumo didático final (para usar na prova — checklist rápido):
- Para checar se
: escreva e separe por graus em . Se o termo de grau 2 é o e o termo de grau 0 é (permitindo termos lineares em sem problema), então, usando Euler, você obtém . - Para saber se essa quantidade é conservada: verifique se
. Se sim → (logo ) é constante no tempo. Se não → (mesmo sendo igual a instantaneamente) não será necessariamente conservada. - Para ver se pode haver
conservada mas : pense em adicionar à Lagrangiana com dependendo de ; as equações e a energia física podem permanecer, mas a Hamiltoniana canônica muda.
Resposta
- A Hamiltoniana coincide com a energia total quando: (i) a Lagrangiana pode ser escrita como
com homogênea de grau em (energia cinética quadrática) e independente de (potencial), e (ii) a Transformação de Legendre é regular (a relação pode ser invertida). Nessas hipóteses, por Euler, .\n2) Um sistema pode ter a energia mecânica conservada mas se a Lagrangiana usada para construir difere da Lagrangiana “natural” por uma derivada total de uma função com dependência temporal ; isto altera por (ex.: mudança de calibre em potenciais eletromagnéticos), deixando as equações e a energia física inalteradas, mas fazendo diferente de .