Em coordenadas cilíndricas, seja \rho_{v}=0 para \rho<0 \mathrm{~mm}, \rho_{v}=2 \operatorname{sen}(2000 \pi \rho) \mathrm{n} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3} para 1 \mathrm{~mm}<\rho<1,5 \mathrm{~mm} e \rho_{v}=0 para \rho>1,5 \mathrm{~mm}. Determine \mathbf{D} em toda parte.
Passo 1
O enunciado dá a densidade volumétrica de carga \rho_{v} em coordenadas cilíndricas, com dependência apenas radial. Os dados (peguei os valores do enunciado) são:
\rho_{v}=0 para \rho<\,1\\ \text{mm} (interpretei o trecho inicial como um \emph{typo} e adotei 1\\ \text{mm} como limite interno);
\rho_{v}=2\sin\!\bigl(2000\pi \rho\bigr)\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^{3} para 1\\ \text{mm}<\rho<1{,}5\\ \text{mm};
\rho_{v}=0 para \rho>1{,}5\\ \text{mm}.
O que o problema pede: determinar o campo \mathbf{D} em toda parte (para todo \rho).
Para simplificar a escrita usarei as constantes:
a = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\qquad b = 1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\qquad k = 2000\pi\\ \mathrm{m}^{-1},
e lembrarei que 1\\ \mathrm{nC}=10^{-9}\\ \mathrm{C}.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: a lei integral de Gauss para \mathbf{D}
onde Q_{\text{enc}} é a carga total livre encerrada pela superfície \mathcal{S}.
Por simetria cilíndrica (a densidade depende só de \rho, é uniforme em \varphi e em z dentro do trecho onde existe carga) o campo \mathbf{D} só pode ter componente radial. Logo escrevemos
Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio \rho e comprimento L. A contribuição de fluxo vem apenas da face lateral (área 2\pi\rho L) porque as bases têm normal paralelo ao eixo e \mathbf{D} é radial. Assim o fluxo é
Como \rho_v é não nula apenas para a<\rho'<b, os limites da integral se ajustam conforme a região onde \rho se encontra. Vamos tratar as três regiões separadamente.
Passo 3
Região 1: 0\le\rho\le a.
Aqui, para todo \rho'\le\rho\le a vale \rho_{v}(\rho')=0. Então a integral é zero e
Observação física: para \rho\ge b o numerador é constante (a carga total por comprimento), então D_{\rho} decai como 1/\rho, que é o comportamento esperado fora de um cilindro carregado coaxialmente.]
Passo 6
Resumo e unidades: \mathbf{D} tem unidades \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}. Em todas as expressões acima \mathbf{D}(\rho)=D_{\rho}(\rho)\,\hat{\boldsymbol{\rho}}. As constantes usadas: