Se \rho_{v}=5 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{3} para 0<\rho<1 \mathrm{~mm} e não há outras cargas presentes: (a) determine E_{\rho} para \rho<1 \mathrm{~mm}; (b) e E_{\rho} para \rho>1 \mathrm{~mm}; (c) que densidade linear de carga \rho_{L} em \rho=0 daria o mesmo resultado do que o item (b).

Passo 1

Dados fornecidos e o que o enunciado pede.
  • Foi dada a densidade volumétrica de carga \rho_{v}=5\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{3}} válida para 0<\rho<1\\ \mathrm{mm}.
  • Não há outras cargas presentes.
  • O enunciado pede:
    (a) determinar E_{\rho} para \rho<1\\ \mathrm{mm};
    (b) determinar E_{\rho} para \rho>1\\ \mathrm{mm};
    (c) encontrar a densidade linear de carga \rho_{L} (ou \lambda) localizada em \rho=0 que produzisse o mesmo campo do item (b).
Observações sobre as grandezas dadas:
  • O raio da região carregada é a=1\\ \mathrm{mm}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Não há menção a fim de o condutor ser finito, portanto usa-se simetria cilíndrica (campo radial dependente só de \rho).

Passo 2

Escolha do método e justificativa (sem desenvolver ainda): usar a Lei de Gauss na forma integral para uma distribuição com simetria cilíndrica.
Breve lembrete (fórmula que será usada):
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}) e Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície fechada \mathcal{S}. A seguir vamos aplicar essa lei escolhendo uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio \rho e comprimento L.

Passo 3

Entendendo a simetria e a escolha da superfície gaussiana.
  • Por simetria cilíndrica o campo elétrico tem direção radial e depende só da coordenada radial \rho; assim \mathbf{E}=E_{\rho}(\rho)\,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
  • Escolhe-se como superfície gaussiana um cilindro de raio \rho e comprimento L, coaxial com a distribuição. A superfície tem três partes, mas somente a superfície lateral (curva) contribui para o fluxo, porque nos discos de topo e base \mathbf{E} é tangente (ou nulo) à superfície.
  • O fluxo pela superfície lateral é:
\Phi = E_{\rho}(\rho)\cdot (2\pi \rho L).
  • Aplicando a Lei de Gauss:
E_{\rho}(\rho)\cdot(2\pi \rho L)=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Agora precisamos calcular Q_{\text{int}} nos dois casos (dentro e fora do cilindro carregado).

Passo 4

Cálculo para \rho< a (caso interno, com a=1\\ \mathrm{mm}): carga contida dentro do raio \rho.
  • A densidade volumétrica é uniforme \rho_{v}. O volume do cilindro de raio \rho e comprimento L é V=\pi \rho^{2} L.
  • Assim a carga dentro é
Q_{\text{int}}=\rho_{v}\,(\pi \rho^{2} L).
  • Substituindo na Lei de Gauss:
E_{\rho}(\rho)\cdot(2\pi \rho L)=\dfrac{\rho_{v}\,\pi \rho^{2} L}{\varepsilon_{0}}.
  • Simplificando (os fatores \pi e L cancelam parcialmente):
E_{\rho}(\rho)=\dfrac{\rho_{v}\,\pi \rho^{2} L}{\varepsilon_{0}\,2\pi \rho L}=\dfrac{\rho_{v}\,\rho}{2\varepsilon_{0}}.
  • Portanto, para 0<\rho<a:
\boxed{\,E_{\rho}(\rho)=\dfrac{\rho_{v}\,\rho}{2\varepsilon_{0}}\,.}

Passo 5

Interpretação e forma numérica do item (a).
  • Substituindo \rho_{v}=5\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{3}} e \varepsilon_{0}\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, a expressão numérica (coeficiente) é
E_{\rho}(\rho)\approx \dfrac{5\times10^{-9}}{2\times8{,}854\times10^{-12}}\;\rho \approx 2{,}82\times10^{2}\,\rho\quad(\text{com }\rho\text{ em m}),
ou seja
E_{\rho}(\rho)\approx 282{,} \rho\\ \mathrm{(V/m)}\quad(\rho\text{ em m}).
  • Num ponto limite \rho=a=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m} o campo interno atinge
E_{\rho}(a)\approx 282\times 1\times10^{-3}\\ \mathrm{V/m}\approx 0{,}282\\ \mathrm{V/m}.

Passo 6

Cálculo para \rho>a (caso externo): carga total contida no cilindro de raio a.
  • Para \rho>a a superfície gaussiana inclui toda a carga da região carregada de raio a. A carga total por comprimento L é a carga no cilindro de raio a:
Q_{\text{int}}=\rho_{v}\,(\pi a^{2} L).
  • Aplicando a Lei de Gauss (mesma expressão do fluxo):
E_{\rho}(\rho)\cdot(2\pi \rho L)=\dfrac{\rho_{v}\,\pi a^{2} L}{\varepsilon_{0}}.
  • Simplificando:
E_{\rho}(\rho)=\dfrac{\rho_{v}\,a^{2}}{2\varepsilon_{0}\,\rho}.
  • Portanto, para \rho>a:
\boxed{\,E_{\rho}(\rho)=\dfrac{\rho_{v}\,a^{2}}{2\varepsilon_{0}\,\rho}\,.}

Passo 7

Forma numérica do item (b) e consistência com o valor na superfície.
  • Substituindo os valores numéricos ( \rho_{v}=5\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{3}}, a=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, \varepsilon_{0} como acima):
E_{\rho}(\rho)\approx \dfrac{5\times10^{-9}\times(1\times10^{-3})^{2}}{2\times8{,}854\times10^{-12}}\cdot\dfrac{1}{\rho} = \dfrac{2{,}82\times10^{-4}}{\rho}\quad(\text{com }\rho\text{ em m}).
  • Observação de continuidade: em \rho=a isso dá
E_{\rho}(a)\approx \dfrac{2{,}82\times10^{-4}}{1\times10^{-3}}\\ \mathrm{V/m}=0{,}282\\ \mathrm{V/m},
o mesmo valor obtido pelo caso interno na fronteira (continuidade do campo radial).

Passo 8

Item (c): densidade linear \lambda que reproduz o mesmo campo externo.
  • O campo de uma linha infinita com densidade linear de carga \lambda é (simetria cilíndrica)
E_{\rho}(\rho)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,\rho}.
  • Para que esse campo coincida com o do item (b) para \rho>a devemos ter, para todo \rho>a,
\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,\rho}=\dfrac{\rho_{v}\,a^{2}}{2\varepsilon_{0}\,\rho}.
  • Cancelando fatores iguais e resolvendo para \lambda:
\lambda=\pi\,\rho_{v}\,a^{2}.
  • Isto tem interpretação física clara: \lambda é simplesmente a carga total por unidade de comprimento presente no cilindro carregado (carga por volume vezes área da secção).
  • Substituindo numericamente:
\lambda=\pi\times(5\times10^{-9})\times(1\times10^{-3})^{2}=\;5\pi\times10^{-15}\\ \mathrm{C/m}\approx 1{,}57\times10^{-14}\\ \mathrm{C/m}.
  • Em unidades práticas: \lambda\approx 15{,}7\\ \mathrm{fC/m} (fC = femtocoulomb =10^{-15}\\ \mathrm{C}).

Resposta

(a) E_{\rho}(\rho)=\dfrac{\rho_{v}\,\rho}{2\varepsilon_{0}} para 0<\rho<1\\ \mathrm{mm}.
(b) E_{\rho}(\rho)=\dfrac{\rho_{v}\,a^{2}}{2\varepsilon_{0}\,\rho} para \rho>1\\ \mathrm{mm}, com a=1\\ \mathrm{mm}.
(c) \lambda=\pi\,\rho_{v}\,a^{2}=5\pi\times10^{-15}\\ \mathrm{C/m}\approx1{,}57\times10^{-14}\\ \mathrm{C/m}.

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