Se
para
e não há outras cargas presentes: (a) determine
para
; (b) e
para
; (c) que densidade linear de carga
em
daria o mesmo resultado do que o item (b).
Passo 1
Dados fornecidos e o que o enunciado pede.
- Foi dada a densidade volumétrica de carga
válida para . - Não há outras cargas presentes.
- O enunciado pede:
(a) determinarpara ;
(b) determinarpara ;
(c) encontrar a densidade linear de carga(ou ) localizada em que produzisse o mesmo campo do item (b).
Observações sobre as grandezas dadas:
- O raio da região carregada é
. - Não há menção a fim de o condutor ser finito, portanto usa-se simetria cilíndrica (campo radial dependente só de
).
Passo 2
Escolha do método e justificativa (sem desenvolver ainda): usar a Lei de Gauss na forma integral para uma distribuição com simetria cilíndrica.
Breve lembrete (fórmula que será usada):
Breve lembrete (fórmula que será usada):
onde
é a permissividade do vácuo (
) e
é a carga total dentro da superfície fechada
. A seguir vamos aplicar essa lei escolhendo uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio
e comprimento
.
Passo 3
Entendendo a simetria e a escolha da superfície gaussiana.
- Por simetria cilíndrica o campo elétrico tem direção radial e depende só da coordenada radial
; assim . - Escolhe-se como superfície gaussiana um cilindro de raio
e comprimento , coaxial com a distribuição. A superfície tem três partes, mas somente a superfície lateral (curva) contribui para o fluxo, porque nos discos de topo e base é tangente (ou nulo) à superfície. - O fluxo pela superfície lateral é:
- Aplicando a Lei de Gauss:
Agora precisamos calcular
nos dois casos (dentro e fora do cilindro carregado).
Passo 4
Cálculo para
(caso interno, com
): carga contida dentro do raio
.
- A densidade volumétrica é uniforme
. O volume do cilindro de raio e comprimento é . - Assim a carga dentro é
- Substituindo na Lei de Gauss:
- Simplificando (os fatores
e cancelam parcialmente):
- Portanto, para
:
Passo 5
Interpretação e forma numérica do item (a).
- Substituindo
e , a expressão numérica (coeficiente) é
ou seja
- Num ponto limite
o campo interno atinge
Passo 6
Cálculo para
(caso externo): carga total contida no cilindro de raio
.
- Para
a superfície gaussiana inclui toda a carga da região carregada de raio . A carga total por comprimento é a carga no cilindro de raio :
- Aplicando a Lei de Gauss (mesma expressão do fluxo):
- Simplificando:
- Portanto, para
:
Passo 7
Forma numérica do item (b) e consistência com o valor na superfície.
- Substituindo os valores numéricos (
, , como acima):
- Observação de continuidade: em
isso dá
o mesmo valor obtido pelo caso interno na fronteira (continuidade do campo radial).
Passo 8
Item (c): densidade linear
que reproduz o mesmo campo externo.
- O campo de uma linha infinita com densidade linear de carga
é (simetria cilíndrica)
- Para que esse campo coincida com o do item (b) para
devemos ter, para todo ,
- Cancelando fatores iguais e resolvendo para
:
- Isto tem interpretação física clara:
é simplesmente a carga total por unidade de comprimento presente no cilindro carregado (carga por volume vezes área da secção). - Substituindo numericamente:
- Em unidades práticas:
(fC = femtocoulomb ).
Resposta
(a)
para
.
(b) para
, com
.
(c) .
(b)
(c)