As coordenadas críticas da água são 374^{\circ} \mathrm{C}, 218 \mathrm{~atm} e 0,0566 \mathrm{~L} / \mathrm{mol}.
a. Calcule os valores das constantes de van der Waals a partir do volume molar crítico e da pressão crítica e o valor da constante universal dos gases a partir das coordenadas críticas.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas críticas da água e pede duas coisas:
  • Calcular as constantes de van der Waals a e b a partir do volume molar crítico e da pressão crítica.
  • Calcular o valor da constante universal dos gases R a partir das coordenadas críticas.
Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
T_c = 374^\circ\mathrm{C},\qquad p_c = 218\\ \mathrm{atm},\qquad V_{c} = 0{,}0566\\ \mathrm{L/mol}.
Observe que vou precisar converter a temperatura para Kelvin antes de usar fórmulas.

Passo 2

A teoria que vamos usar (fórmulas que o modelo de van der Waals dá para o ponto crítico) e o que cada símbolo significa:
V_c = 3b,
onde V_c é o volume molar crítico e b é a constante de volume da equação de van der Waals (unidade típica: \mathrm{L/mol}).
p_c = \frac{a}{27\,b^{2}},
onde p_c é a pressão crítica, a é a constante de atração na equação de van der Waals (unidade típica: \mathrm{atm\cdot L^2/mol^2}).
T_c = \frac{8a}{27\,b\,R},
onde T_c é a temperatura crítica em Kelvin e R é a constante universal dos gases (unidade conforme as unidades de p e V; aqui, se p em \mathrm{atm} e V em \mathrm{L/mol}, R terá unidade \mathrm{atm\cdot L\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}).
Também é útil a forma obtida ao combinar as relações acima (vou usar essa forma para calcular R diretamente mais tarde):
R=\frac{8\,b\,p_c}{T_c}.
Vou explicar cada passo de cálculo e mostrar todos os detalhes para você poder reproduzir na prova.

Passo 3

Converter temperatura para Kelvin (passo necessário sempre que usamos fórmulas termodinâmicas):
T_c = 374^\circ\mathrm{C} = 374 + 273{,}15 = 647{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular b a partir de V_c usando V_c=3b. Substituindo:
b=\frac{V_c}{3}=\frac{0{,}0566}{3}=0{,}0188666666667\\ \mathrm{L/mol}.
Arredondando razoavelmente para a prova:
b \approx 0{,}018867\\ \mathrm{L/mol}.
Explicação didática: a relação V_c=3b vem da análise das condições de ponto crítico na isoterma van der Waals (é a relação exata no modelo; basta isolar b).

Passo 5

Calcular a a partir de p_c e b usando p_c=\dfrac{a}{27b^2}. Isolando a:
a=27\,b^{2}\,p_c.
Agora substituímos os valores (uso b sem arredondamento excessivo para manter precisão):
b^{2}=(0{,}0188666666667)^{2}=0{,}00035595111111174\\ \mathrm{L^{2}/mol^{2}}.
27\,b^{2}=27\times 0{,}00035595111111174=0{,}00961068000001698\\ \mathrm{L^{2}/mol^{2}}.
a=0{,}00961068000001698\times 218 = 2{,}09512824\\ \mathrm{atm\cdot L^{2}/mol^{2}}.
Arredondando para a prova:
a \approx 2{,}095\\ \mathrm{atm\cdot L^{2}/mol^{2}}.
Didática: a mede a intensidade das forças atrativas intermoleculares no modelo van der Waals; a fórmula acima resulta das condições matemáticas para existência de ponto crítico no modelo.

Passo 6

Calcular R a partir das coordenadas críticas usando a relação combinada que derivei:
R=\frac{8\,b\,p_c}{T_c}.
Substituindo b=0{,}0188666666667\\ \mathrm{L/mol}, p_c=218\\ \mathrm{atm} e T_c=647{,}15\\ \mathrm{K}:
b\,p_c=0{,}0188666666667\times 218 = 4{,}1129333333406\\ \mathrm{L\cdot atm / mol}.
8\,b\,p_c = 8\times 4{,}1129333333406 = 32{,}9034666667248.
R=\frac{32{,}9034666667248}{647{,}15}=0{,}050845\\ \mathrm{atm\cdot L\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Arredondando:
R \approx 0{,}05085\\ \mathrm{atm\cdot L\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Observação didática importante (para entender: não se assuste): esse R é o valor que aparece se você deduzir a constante dos gases a partir das coordenadas críticas usando estritamente as relações do modelo de van der Waals com os dados reais da água. Ele difere do valor universal real R\approx 0{,}08206\\ \mathrm{atm\cdot L\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} porque a água real não obedece exatamente ao modelo simples de van der Waals. Na sua prova, o que conta é saber aplicar corretamente as fórmulas e fazer as contas como acabei de mostrar.

Resposta

a = 2{,}095\\ \mathrm{atm\cdot L^{2}\cdot mol^{-2}}
b = 0{,}018867\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}
R = 0{,}05085\\ \mathrm{atm\cdot L\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}

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