1. As coordenadas críticas do metano são \mathrm{P}_{\mathrm{c}}=45,6 \mathrm{~atm}, \mathrm{~V}_{\mathrm{c}}=250 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{e} \mathrm{T} \mathrm{c}=190,6 K. Calcule (a) as constantes de van der Waals do gás, (b) sua temperatura de Boyle e (c) sua pressão quando esse gás é de van der Waals com volume molar igual 2 L \mathrm{mol}^{-1} e temperatura de 300 K .

Passo 1

O enunciado dá as constantes críticas do metano e pede três coisas. Dados fornecidos:
  • \mathrm{P}_{\mathrm{c}} = 45,6\\ \mathrm{atm}.
  • \mathrm{V}_{\mathrm{c}} = 250\\ \mathrm{cm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}.
  • \mathrm{T}_{\mathrm{c}} = 190,6\\ \mathrm{K}.
Perguntas:
(a) Calcular as constantes de van der Waals a e b.
(b) Calcular a temperatura de Boyle do gás.
(c) Calcular a pressão quando o gás obedece a van der Waals com volume molar v = 2\\ \mathrm{L\\ mol}^{-1} e T = 300\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Apresento as equações que vamos usar e explico cada variável (aula rápida e prática).
A equação de van der Waals para um mol é
\left(P+\frac{a}{v^{2}}\right)(v-b)=RT,
onde:
  • P é a pressão do gás (atm),
  • v é o volume molar (L·mol^{-1}),
  • T é a temperatura (K),
  • R é a constante universal dos gases. Vou usar R=0,082057\\ \mathrm{L\\ atm\\ K^{-1}\\ mol^{-1}},
  • a e b são as constantes de van der Waals (a mede a atração entre moléculas; b é o volume excluído por mol).
No ponto crítico, a isoterma tem ponto de inflexão; isso implica
\left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{T}=0 \qquad\text{e}\qquad \left(\frac{\partial^{2}P}{\partial v^{2}}\right)_{T}=0.
Escrevendo P explicitamente como função de v:
P(v,T)=\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^{2}}.
Derivando com relação a v:
\frac{\partial P}{\partial v}=-\frac{RT}{(v-b)^{2}}+\frac{2a}{v^{3}},
\frac{\partial^{2}P}{\partial v^{2}}=\frac{2RT}{(v-b)^{3}}-\frac{6a}{v^{4}}.
Aplicando as duas condições no ponto crítico e resolvendo (fazendo eliminação algébrica) obtém-se as relações padrão entre as constantes críticas e a,b:
V_{c}=3b,
P_{c}=\frac{a}{27b^{2}},
T_{c}=\frac{8a}{27Rb}.
Essas três fórmulas são padrão e vou usá-las para encontrar a e b.

Passo 3

Primeiro converto \mathrm{V}_{\mathrm{c}} para litros (temos \mathrm{V}_{\mathrm{c}}=250\\ \mathrm{cm}^{3}\\ \mathrm{mol}^{-1}). Como 1\\ \mathrm{L}=1000\\ \mathrm{cm}^{3},
\mathrm{V}_{\mathrm{c}}=250\\ \mathrm{cm}^{3}\\ \mathrm{mol}^{-1}=0,250\\ \mathrm{L\\ mol}^{-1}.
Usando \mathrm{V}_{\mathrm{c}}=3b, obtemos b:
b=\frac{V_{c}}{3}=\frac{0,250}{3}=0,083333\ldots\\ \mathrm{L\\ mol}^{-1}.
Arredondando razoavelmente (mantendo casas úteis),
b=0,08333\\ \mathrm{L\\ mol}^{-1}.

Passo 4

Agora uso \mathrm{P}_{\mathrm{c}}=\dfrac{a}{27b^{2}} para achar a. Reorganizando,
a=27\,P_{c}\,b^{2}.
Substituo P_{c}=45,6\\ \mathrm{atm} e b=0,083333\\ \mathrm{L\\ mol}^{-1}:
Calculo passo a passo:
b^{2}=(0,083333\ldots)^{2}=0,00694444\\ \mathrm{L^{2}\\ mol^{-2}},
27\,b^{2}=27\times 0,00694444=0,1875\\ \mathrm{L^{2}\\ mol^{-2}},
a=45,6\times 0,1875=8,55\\ \mathrm{atm\;L^{2}\;mol^{-2}}.
Portanto
a=8,55\\ \mathrm{atm\;L^{2}\;mol^{-2}}.

Passo 5

Agora a temperatura de Boyle. Explico: a expansão virial do gás em baixa densidade tem o segundo coeficiente de virial B(T). Para o modelo de van der Waals, o segundo coeficiente é
B(T)=b-\frac{a}{RT}.
A temperatura de Boyle T_B é a temperatura em que B(T_B)=0. Logo
0=b-\frac{a}{R T_{B}}\quad\Rightarrow\quad T_{B}=\frac{a}{R b}.
Substituo os valores calculados a=8,55 e b=0,083333 e R=0,082057:
Calculo
R\,b=0,082057\times 0,083333\ldots =0,00683808\\ \mathrm{L\\ atm\\ mol^{-1}\\ K^{-1}},
T_{B}=\frac{8,55}{0,00683808}\approx 1250\\ \mathrm{K}.
Assim,
T_{B}\approx 1250\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Por fim, calculo a pressão para v=2\\ \mathrm{L\\ mol}^{-1} e T=300\\ \mathrm{K} usando a equação de van der Waals
P=\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^{2}}.
Substituo R=0,082057, T=300, v=2, b=0,083333, a=8,55.
Calculo passo a passo:
v-b=2-0,083333=1,916667\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}},
\frac{RT}{v-b}=\frac{0,082057\times 300}{1,916667}=\frac{24,6171}{1,916667}\approx 12,84\\ \mathrm{atm},
\frac{a}{v^{2}}=\frac{8,55}{(2)^{2}}=\frac{8,55}{4}=2,1375\\ \mathrm{atm},
P=12,84-2,1375=10,7025\\ \mathrm{atm}.
Arredondando adequadamente,
P\approx 10,70\\ \mathrm{atm}.

Passo 7

Resumo e verificação rápida de unidades:
  • b em \mathrm{L\\ mol^{-1}} — OK (converteu-se de cm^3 para L).
  • a em \mathrm{atm\;L^{2}\;mol^{-2}} — é a unidade compatível com a forma da equação usada.
  • T_B em K e P em atm — coerente.

Resposta

(a) a=8,55\\ \mathrm{atm\cdot L^{2}\cdot mol^{-2}},\; b=0,08333\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}
(b) T_{B}=1250\\ \mathrm{K}
(c) P=10,70\\ \mathrm{atm}

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