Um copo de papel em forma de cone reto é feito de maneira a conter 27 cm^2 de líquido. Ache a altura e o raio do copo que usa a menor quantidade possível de papel.
Dica: O cone é feito a partir de uma peça de papel em formato circular. Um setor circular é removido, e em seguida as bordas de tal setor (que correspondem a dois raios da peça circular) são coladas.

Passo 1

O enunciado pede para achar as dimensões de um copo em forma de cone reto que contém volume fixo de líquido e que usa a menor quantidade de papel possível. O conteúdo envolvido é otimização de área lateral de um cone sob restrição de volume fixo, e vamos precisar da fórmula do volume de um cone e da fórmula da área lateral de um cone, além de técnicas de derivada para encontrar extremos.

Passo 2

A partir do volume fixo de líquido, temos
V = tfrac13pi r^2 h = 27
Daqui isolamos a altura h em função do raio r:
h = 3Vpi r^2 = 81pi r^2

Passo 3

A área de papel usada corresponde à área lateral do cone, dada por
A = pi r ell,
onde ell é a geratriz do cone, ell = raizr^2 + h^2. Substituindo h em função de r obtemos
A(r) = pi r raizr^2 + l(tfrac81pi r^2r)^2

Passo 4

Para simplificar a otimização, consideramos
A^2(r) = pi^2 r^2l(r^2 + tfrac6561pi^2 r^4r) = pi^2 r^4 + 6561r^2
Derivando em relação a r e igualando a zero:
ddrA^2 = 4pi^2 r^3 - 2cdot 6561,r^-3 = 0
leva a
4pi^2 r^6 = 2cdot6561 Longrightarrow r^6 = 65612pi^2 Longrightarrow r^3 = 81piraiz2

Passo 5

Da expressão r^3 = 81/(piraiz2) tiramos
r = l(tfrac81piraiz2r)^1/3,
e usando h = 81/(pi r^2) obtemos
h = rraiz2 = l(tfrac162pir)^1/3

Passo 6

Nos valores aproximados, temos
r approx 2.63 cm, h approx 3.72 cm
Nessas dimensões o copo de volume 27,cm³ usa a menor área lateral de papel possível.

Resposta

Raio: r=l(tfrac81piraiz2r)^1/3approx2.63,cm,
Altura: h=l(tfrac162pir)^1/3approx3.72,cm.

Exercícios relacionados