Um copo de papel em forma de cone reto é feito de maneira a conter
de líquido. Ache a altura e o raio do copo que usa a menor quantidade possível de papel.
Dica: O cone é feito a partir de uma peça de papel em formato circular. Um setor circular é removido, e em seguida as bordas de tal setor (que correspondem a dois raios da peça circular) são coladas.
Dica: O cone é feito a partir de uma peça de papel em formato circular. Um setor circular é removido, e em seguida as bordas de tal setor (que correspondem a dois raios da peça circular) são coladas.
Passo 1
O enunciado pede para achar as dimensões de um copo em forma de cone reto que contém volume fixo de líquido e que usa a menor quantidade de papel possível. O conteúdo envolvido é otimização de área lateral de um cone sob restrição de volume fixo, e vamos precisar da fórmula do volume de um cone e da fórmula da área lateral de um cone, além de técnicas de derivada para encontrar extremos.
Passo 2
A partir do volume fixo de líquido, temos
Daqui isolamos a altura
em função do raio
:
Passo 3
A área de papel usada corresponde à área lateral do cone, dada por
onde
é a geratriz do cone,
. Substituindo
em função de
obtemos
Passo 4
Para simplificar a otimização, consideramos
Derivando em relação a
e igualando a zero:
leva a
Passo 5
Da expressão
tiramos
e usando
obtemos
Passo 6
Nos valores aproximados, temos
Nessas dimensões o copo de volume 27,cm³ usa a menor área lateral de papel possível.
Resposta
Raio:
,
Altura: .
Altura: