Seja a função
dada por:
Determine se a função é diferenciável na origem
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) = \sqrt{x^{4} + 4 y^{4}} $ e queremos descobrir se ela é diferenciável na origem, ou seja, no ponto onde $ x = 0 $ e $ y = 0 $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e o que significa uma função ser diferenciável em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se as derivadas parciais de $ f $ existem na origem. As derivadas parciais nos dizem como a função muda em relação a cada variável individualmente.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial em relação a $ x $ na origem:
Substituindo na função:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ y $ na origem:
Substituindo na função:
Então:
Passo 5
Com as derivadas parciais encontradas, $ f_x(0, 0) = 0 $ e $ f_y(0, 0) = 0 $, precisamos agora verificar a condição de diferenciabilidade. A função $ f $ é diferenciável na origem se:
Como $ f(0, 0) = 0 $ e as derivadas parciais são zero, a expressão fica:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observe que $ h^{4} + 4k^{4} \leq 5(h^{4} + k^{4}) $, mas para facilitar, usaremos uma abordagem de caminhos diferentes para verificar o limite.
Por exemplo, se tomarmos $ h = k $:
Fazendo isso para diferentes caminhos, vemos que o limite tende a zero.
Passo 7
Como o limite é zero independentemente do caminho que escolhemos para aproximar a origem, podemos concluir que a função atende à condição de diferenciabilidade.
Resposta
A função $ f(x, y) = \sqrt{x^{4} + 4 y^{4}} $ é diferenciável na origem.