Seja a função f: R^2 longrightarrow R dada por:
f(x, y)=raizx^4+4 y^4
Determine se a função é diferenciável na origem

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) = \sqrt{x^{4} + 4 y^{4}} $ e queremos descobrir se ela é diferenciável na origem, ou seja, no ponto onde $ x = 0 $ e $ y = 0 $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e o que significa uma função ser diferenciável em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se as derivadas parciais de $ f $ existem na origem. As derivadas parciais nos dizem como a função muda em relação a cada variável individualmente.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a $ x $ na origem:
x
Substituindo na função:
fx(0, 0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0, 0)h
Então:
f(h, 0) = raizh^4 + 4 cdot 0^4 = raizh^4 = h^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ y $ na origem:
y
Substituindo na função:
fy(0, 0) = limk to 0 f(0, k) - f(0, 0)k
Então:
f(0, k) = raiz0^4 + 4 k^4 = raiz4 k^4 = raiz4 cdot raizk^4 = 2 k^2

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, $ f_x(0, 0) = 0 $ e $ f_y(0, 0) = 0 $, precisamos agora verificar a condição de diferenciabilidade. A função $ f $ é diferenciável na origem se:
fx(0, 0) = 0
Como $ f(0, 0) = 0 $ e as derivadas parciais são zero, a expressão fica:
fy(0, 0) = 0

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observe que $ h^{4} + 4k^{4} \leq 5(h^{4} + k^{4}) $, mas para facilitar, usaremos uma abordagem de caminhos diferentes para verificar o limite.
Por exemplo, se tomarmos $ h = k $:
h^4 + 4k^4 <= 5(h^4 + k^4)
Fazendo isso para diferentes caminhos, vemos que o limite tende a zero.

Passo 7

Como o limite é zero independentemente do caminho que escolhemos para aproximar a origem, podemos concluir que a função atende à condição de diferenciabilidade.

Resposta

A função $ f(x, y) = \sqrt{x^{4} + 4 y^{4}} $ é diferenciável na origem.

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