- Quando a corda está a um ângulo
, a esfera
de
tem uma velocidade
. O coeficiente de restituição entre
e a cunha
de
é 0,7 e o comprimento da corda
. A constante da mola tem em valor de
e
. Determine a velocidade de
e de
imediatamente após o impacto. (6 valores).
Passo 1
O enunciado pede: determinar as velocidades imediatas após o impacto da esfera
e da cunha
(ou seja, as velocidades logo depois da colisão). Para apresentar de forma completa, vamos fornecer as componentes horizontais e verticais e as velocidades escalares (módulos) de
e
— totalizando 6 valores.
Dados fornecidos (retirados do enunciado e da figura):
- massa da esfera
: . - massa da cunha
: . - velocidade de
imediatamente antes do impacto: . - coeficiente de restituição entre
e : . - comprimento da corda:
(informação não necessária para o cálculo direto das velocidades pós-impacto, mas estava no enunciado). - constante da mola:
(não entra nos cálculos imediatos do instante após o impacto). - ângulo mostrado na figura no ponto de contato:
. - posição da corda:
(dada no enunciado). - Observação sobre direção de velocidade pré-impacto: a figura indica que a velocidade instantânea de
antes do impacto está dirigida essencialmente na horizontal; usaremos essa orientação (velocidade pré-impacto de igual a no sistema de eixos horizontal para a direita e vertical para cima). Se a orientação da velocidade pré-impacto fosse outra, a decomposição precisaria ser ajustada.
O que a resposta deve entregar:
-
e (componentes horizontal e vertical de logo após o choque) e (módulo). -
e (componentes horizontal e vertical de logo após o choque) e (módulo).
Passo 2
Plano de resolução e princípios físicos (explicação didática e passo a passo do método).
- Em colisões sem atrito entre a esfera e a face da cunha, o impulso entre os corpos atua apenas na direção normal à face de contato. Isso implica duas coisas úteis:
- A componente da velocidade tangencial (paralela à face) de cada corpo não muda durante o choque (não há impulso tangencial se a superfície for lisa). Em termos práticos: a componente tangencial de
antes do choque permanece a mesma logo após. - A mudança de velocidade ocorre apenas ao longo da direção normal à face. Nessa direção podemos tratar a interação como uma colisão unidimensional entre duas massas, aplicando as fórmulas clássicas da colisão com coeficiente de restituição
.
- A componente da velocidade tangencial (paralela à face) de cada corpo não muda durante o choque (não há impulso tangencial se a superfície for lisa). Em termos práticos: a componente tangencial de
- Definições de vetores unitários (explicando cada símbolo):
- Seja
o versor normal à face no ponto de contato (apontando da cunha para a esfera), com componentes quando é o ângulo entre a normal e o eixo horizontal (essa é a interpretação tomada a partir da figura). - Seja
o versor tangente à face (orientado de forma que seja um par ortonormal); uma escolha conveniente é . Assim é obtido girando em .
- Seja
- Decomposição da velocidade pré-impacto de
nas componentes normal e tangencial: -
(componente normal). -
(componente tangencial).
-
- Colisão unidimensional no eixo normal (fórmulas que vêm do balanço de impulso e da condição de restituição):
- Para duas massas
e com velocidades iniciais ao longo da normal e (aqui porque está inicialmente em repouso na direção considerada), as velocidades finais ao longo da normal são:
- Para duas massas
Aqui \(v_{1n}\) é a componente normal final de \(A\) e \(v_{2n}\) a componente normal final de \(B\).
- No caso
(cunha inicialmente parada), essas fórmulas simplificam para: - Depois, a velocidade vetorial final de cada corpo obtém-se somando a contribuição normal (multiplicada por
) e a contribuição tangencial (multiplicada por ): Com (invariável) e (cunha não recebe componente tangencial sem atrito). - Observação sobre sinais: é importante manter o sinal das componentes (um componente tangencial pode ser negativo). Por isso calcular as projeções com o produto escalar é a forma segura.
Passo 3
Decomposição da velocidade inicial de
nas direções normal e tangencial.
- Tomando
(velocidade horizontal positiva para a direita), - Componentes (produto escalar):
- Substituindo valores numéricos (
, ; , ):
Passo 4
Aplicar as fórmulas da colisão unidimensional ao longo da normal para obter as componentes normais finais.
- Usando as fórmulas (com
, , , calculado): - Cálculo dos coeficientes:
- Assim:
Interpretação: o sinal negativo em
indica que a componente normal da velocidade de
inverteu o sentido (isto é esperado se
ricocheteia da face).
Passo 5
Tangencial: componente tangencial de
permanece a mesma;
não adquire componente tangencial (superfície lisa).
- Logo:
Passo 6
Reconstruir as velocidades vetoriais (componentes
e
) a partir das componentes normal e tangencial.
- Fórmulas vetoriais:
- Escrevendo componentes:
- Substituindo números (
): - Para
:
- Para
- Para
:
Passo 7
Cálculo dos módulos (velocidades escalares) de
e
.
- Módulo de
: - Módulo de
:
Passo 8
Verificação rápida (consistência física):
- Se somar os momenta (vetoriais) finais obtém-se, com pequenas diferenças de arredondamento, o momento vetorial inicial de
(isto confirma que as equações de impulso foram aplicadas corretamente). - A componente tangencial de
manteve o mesmo valor (negativa, indicando direção contrária ao eixo ), e a cunha não ganhou componente tangencial (superfície lisa).