1. Quando a corda está a um ângulo \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{3 0}^{\circ}, a esfera A de 0,5 \mathrm{~kg} tem uma velocidade v_{0}=1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O coeficiente de restituição entre A e a cunha B de 0,9 \mathrm{~kg} é 0,7 e o comprimento da corda l=0,8 \mathrm{~m}. A constante da mola tem em valor de 500 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e \theta= 20^{\circ}. Determine a velocidade de \boldsymbol{A} e de \boldsymbol{B} imediatamente após o impacto. (6 valores).

Passo 1

O enunciado pede: determinar as velocidades imediatas após o impacto da esfera A e da cunha B (ou seja, as velocidades logo depois da colisão). Para apresentar de forma completa, vamos fornecer as componentes horizontais e verticais e as velocidades escalares (módulos) de A e B — totalizando 6 valores.
Dados fornecidos (retirados do enunciado e da figura):
  • massa da esfera A: m_A=0,5\\ \mathrm{kg}.
  • massa da cunha B: m_B=0,9\\ \mathrm{kg}.
  • velocidade de A imediatamente antes do impacto: v_0=1,2\\ \mathrm{m/s}.
  • coeficiente de restituição entre A e B: e=0,7.
  • comprimento da corda: l=0,8\\ \mathrm{m} (informação não necessária para o cálculo direto das velocidades pós-impacto, mas estava no enunciado).
  • constante da mola: k=500\\ \mathrm{N/m} (não entra nos cálculos imediatos do instante após o impacto).
  • ângulo mostrado na figura no ponto de contato: \theta=20^\circ.
  • posição da corda: \alpha=30^\circ (dada no enunciado).
  • Observação sobre direção de velocidade pré-impacto: a figura indica que a velocidade instantânea de A antes do impacto está dirigida essencialmente na horizontal; usaremos essa orientação (velocidade pré-impacto de A igual a (v_0,0) no sistema de eixos x horizontal para a direita e y vertical para cima). Se a orientação da velocidade pré-impacto fosse outra, a decomposição precisaria ser ajustada.
O que a resposta deve entregar:
  • v_{A,x} e v_{A,y} (componentes horizontal e vertical de A logo após o choque) e |v_A| (módulo).
  • v_{B,x} e v_{B,y} (componentes horizontal e vertical de B logo após o choque) e |v_B| (módulo).

Passo 2

Plano de resolução e princípios físicos (explicação didática e passo a passo do método).
  • Em colisões sem atrito entre a esfera e a face da cunha, o impulso entre os corpos atua apenas na direção normal à face de contato. Isso implica duas coisas úteis:
    1. A componente da velocidade tangencial (paralela à face) de cada corpo não muda durante o choque (não há impulso tangencial se a superfície for lisa). Em termos práticos: a componente tangencial de A antes do choque permanece a mesma logo após.
    2. A mudança de velocidade ocorre apenas ao longo da direção normal à face. Nessa direção podemos tratar a interação como uma colisão unidimensional entre duas massas, aplicando as fórmulas clássicas da colisão com coeficiente de restituição e.
  • Definições de vetores unitários (explicando cada símbolo):
    • Seja \mathbf{n} o versor normal à face no ponto de contato (apontando da cunha para a esfera), com componentes \mathbf{n}=(\cos\theta,\;\sin\theta) quando \theta é o ângulo entre a normal e o eixo horizontal (essa é a interpretação tomada a partir da figura).
    • Seja \mathbf{t} o versor tangente à face (orientado de forma que \{\mathbf{n},\mathbf{t}\} seja um par ortonormal); uma escolha conveniente é \mathbf{t}=(-\sin\theta,\;\cos\theta). Assim \mathbf{t} é obtido girando \mathbf{n} em +90^\circ.
  • Decomposição da velocidade pré-impacto de A nas componentes normal e tangencial:
    • u_n = \mathbf{v}_{A,\text{pre}}\cdot\mathbf{n} (componente normal).
    • u_t = \mathbf{v}_{A,\text{pre}}\cdot\mathbf{t} (componente tangencial).
  • Colisão unidimensional no eixo normal (fórmulas que vêm do balanço de impulso e da condição de restituição):
    • Para duas massas m_A e m_B com velocidades iniciais ao longo da normal u_{1} e u_{2} (aqui u_2=0 porque B está inicialmente em repouso na direção considerada), as velocidades finais ao longo da normal são: v_{1n}=\frac{m_1 u_1 + m_2 u_2 - m_2 e (u_1-u_2)}{m_1+m_2},
v_{2n}=\frac{m_1 u_1 + m_2 u_2 + m_1 e (u_1-u_2)}{m_1+m_2}.
Aqui \(v_{1n}\) é a componente normal final de \(A\) e \(v_{2n}\) a componente normal final de \(B\).
  • No caso u_2=0 (cunha inicialmente parada), essas fórmulas simplificam para: v_{An}=u_n\cdot\frac{m_A - m_B e}{m_A+m_B}, \qquad v_{Bn}=u_n\cdot\frac{m_A(1+e)}{m_A+m_B}.
  • Depois, a velocidade vetorial final de cada corpo obtém-se somando a contribuição normal (multiplicada por \mathbf{n}) e a contribuição tangencial (multiplicada por \mathbf{t}): \mathbf{v}_A = v_{An}\,\mathbf{n} + v_{At}\,\mathbf{t},\qquad \mathbf{v}_B = v_{Bn}\,\mathbf{n} + v_{Bt}\,\mathbf{t}.Com v_{At}=u_t (invariável) e v_{Bt}=0 (cunha não recebe componente tangencial sem atrito).
  • Observação sobre sinais: é importante manter o sinal das componentes (um componente tangencial pode ser negativo). Por isso calcular as projeções com o produto escalar é a forma segura.

Passo 3

Decomposição da velocidade inicial de A nas direções normal e tangencial.
  • Tomando \mathbf{v}_{A,\text{pre}}=(v_0,0) (velocidade horizontal positiva para a direita), \mathbf{n}=(\cos\theta,\sin\theta),\qquad \mathbf{t}=(-\sin\theta,\cos\theta).
  • Componentes (produto escalar): u_n=\mathbf{v}_{A,\text{pre}}\cdot\mathbf{n}=v_0\cos\theta,
u_t=\mathbf{v}_{A,\text{pre}}\cdot\mathbf{t}=v_0(-\sin\theta)=-v_0\sin\theta.
  • Substituindo valores numéricos ( v_0=1,2\\ \mathrm{m/s}, \theta=20^\circ; \cos20^\circ\approx0,9396926, \sin20^\circ\approx0,3420201): u_n=1,2\cdot\cos20^\circ\approx1,1276315\\ \mathrm{m/s},
u_t=-1,2\cdot\sin20^\circ\approx-0,4104242\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Aplicar as fórmulas da colisão unidimensional ao longo da normal para obter as componentes normais finais.
  • Usando as fórmulas (com m_A=0,5, m_B=0,9, e=0,7, u_n calculado): v_{An}=u_n\cdot\frac{m_A - m_B e}{m_A+m_B}, \qquad v_{Bn}=u_n\cdot\frac{m_A(1+e)}{m_A+m_B}.
  • Cálculo dos coeficientes: m_A - m_B e=0,5-0,9\cdot0,7=0,5-0,63=-0,13,
m_A+m_B=0,5+0,9=1,4,
\frac{m_A - m_B e}{m_A+m_B}=\frac{-0,13}{1,4}\approx-0,0928571,
\frac{m_A(1+e)}{m_A+m_B}=\frac{0,5\cdot1,7}{1,4}=\frac{0,85}{1,4}\approx0,6071429.
  • Assim: v_{An}\approx1,1276315\cdot(-0,0928571)\approx-0,1046858\\ \mathrm{m/s},
v_{Bn}\approx1,1276315\cdot0,6071429\approx0,6849355\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: o sinal negativo em v_{An} indica que a componente normal da velocidade de A inverteu o sentido (isto é esperado se A ricocheteia da face).

Passo 5

Tangencial: componente tangencial de A permanece a mesma; B não adquire componente tangencial (superfície lisa).
  • Logo: v_{At}=u_t\approx-0,4104242\\ \mathrm{m/s},\qquad v_{Bt}=0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Reconstruir as velocidades vetoriais (componentes x e y) a partir das componentes normal e tangencial.
  • Fórmulas vetoriais: \mathbf{v}_A=v_{An}\mathbf{n}+v_{At}\mathbf{t}, \qquad \mathbf{v}_B=v_{Bn}\mathbf{n}+0\cdot\mathbf{t}=v_{Bn}\mathbf{n}.
  • Escrevendo componentes: v_{A,x}=v_{An}\cos\theta+v_{At}(-\sin\theta),
v_{A,y}=v_{An}\sin\theta+v_{At}\cos\theta,
v_{B,x}=v_{Bn}\cos\theta,\qquad v_{B,y}=v_{Bn}\sin\theta.
  • Substituindo números ( \cos20^\circ\approx0,9396926,\\ \sin20^\circ\approx0,3420201):
    • Para A: v_{A,x}\approx(-0,1046858)\cdot0,9396926 + (-0,4104242)\cdot(-0,3420201)
\quad\approx -0,0983865 + 0,1403399 \approx 0,0419534\\ \mathrm{m/s},
v_{A,y}\approx(-0,1046858)\cdot0,3420201 + (-0,4104242)\cdot0,9396926
\quad\approx -0,0357830 -0,3856006 \approx -0,4213836\\ \mathrm{m/s}.
  • Para B: v_{B,x}\approx0,6849355\cdot0,9396926\approx0,6435650\\ \mathrm{m/s},
v_{B,y}\approx0,6849355\cdot0,3420201\approx0,2345160\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Cálculo dos módulos (velocidades escalares) de A e B.
  • Módulo de A: |v_A|=\sqrt{v_{A,x}^2+v_{A,y}^2}\approx\sqrt{(0,0419534)^2+(-0,4213836)^2}\approx0,4236\\ \mathrm{m/s}.
  • Módulo de B: |v_B|=\sqrt{v_{B,x}^2+v_{B,y}^2}=\sqrt{v_{Bn}^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}=v_{Bn}\approx0,6849\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Verificação rápida (consistência física):
  • Se somar os momenta (vetoriais) finais obtém-se, com pequenas diferenças de arredondamento, o momento vetorial inicial de A (isto confirma que as equações de impulso foram aplicadas corretamente).
  • A componente tangencial de A manteve o mesmo valor (negativa, indicando direção contrária ao eixo t), e a cunha não ganhou componente tangencial (superfície lisa).

Resposta

v_{A,x}=0,04195\\ \mathrm{m/s}
v_{A,y}=-0,42138\\ \mathrm{m/s}
|v_A|=0,4236\\ \mathrm{m/s}
v_{B,x}=0,64357\\ \mathrm{m/s}
v_{B,y}=0,23452\\ \mathrm{m/s}
|v_B|=0,68494\\ \mathrm{m/s}

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