1. O caro desportivo de 2,3 t acelera a 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, partindo de repouso. Se a força de arrastro sobre o veículo é \boldsymbol{F}_{\boldsymbol{D}}=(\mathbf{1 0} \boldsymbol{v}) \boldsymbol{N}, onde v é a velocidade em m / s, calcule a potência fornecida ao motor quando \boldsymbol{t}=\mathbf{5} \boldsymbol{s}. O motor tem um rendimento \boldsymbol{\varepsilon}= 0,68. (5 valores).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • massa do carro: 2,3\\ \mathrm{t}.
    • aceleração constante: 6\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • parte do repouso (velocidade inicial v_0=0).
    • força de arrasto: \displaystyle F_{D}=(10\,v)\\ \mathrm{N}, onde v é a velocidade em \mathrm{m/s}.
    • instante pedido: t=5\\ \mathrm{s}.
    • rendimento do motor: \varepsilon=0,68.
  • O que o enunciado pede:
    • calcular a potência fornecida ao motor quando t=5\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Converter a massa de toneladas para quilogramas (porque as fórmulas de dinâmica usam o sistema SI).
  • 1\\ \mathrm{t}=1000\\ \mathrm{kg}, logo m = 2,3\\ \mathrm{t} = 2{,}3\times1000\\ \mathrm{kg} = 2300\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Calcular a velocidade do carro no instante t=5\\ \mathrm{s}.
  • Como a aceleração é constante e parte do repouso, usamos a relação do movimento uniformemente acelerado: v = v_{0} + a t.Aqui v_{0}=0, a=6\\ \mathrm{m/s^{2}} e t=5\\ \mathrm{s}. Então v = 0 + 6\cdot5 = 30\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a força de arrasto no instante t=5\\ \mathrm{s} usando v=30\\ \mathrm{m/s}.
  • A força de arrasto dada é \displaystyle F_{D}=10\,v\\ \mathrm{N}. Substituindo v: F_{D} = 10\cdot30 = 300\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Determinar a força que o motor precisa aplicar (força de tração) para produzir a aceleração e vencer o arrasto.
  • Pelas leis de Newton, a resultante na direção do movimento é m a. Essa resultante é obtida pela força do motor F_{\text{motor}} para frente menos a força de arrasto para trás: F_{\text{motor}} - F_{D} = m a \quad\Rightarrow\quad F_{\text{motor}} = m a + F_{D}.
  • Calcular numericamente: m a = 2300\cdot6 = 13800\\ \mathrm{N},
F_{\text{motor}} = 13800 + 300 = 14100\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Calcular a potência mecânica entregue pelo motor ao veículo (potência útil nas rodas) no instante t=5\\ \mathrm{s}.
  • Conceito: a potência instantânea associada a uma força constante F que age na direção do movimento é P = F\,v,onde v é a velocidade instantânea. Aqui usamos F=F_{\text{motor}} e v=30\\ \mathrm{m/s}.
  • Então: P_{\text{mec}} = F_{\text{motor}}\;v = 14100\cdot30 = 423000\\ \mathrm{W}.É comum expressar em quilowatts: P_{\text{mec}} = 4,23\times10^{5}\\ \mathrm{W} = 423\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Levar em conta o rendimento do motor para achar a potência que deve ser fornecida ao motor (potência de entrada, por exemplo do combustível).
  • Definição de rendimento: \displaystyle \varepsilon=\frac{P_{\text{útil}}}{P_{\text{fornecida}}}ú, isto é, potência útil (saída) dividida pela potência fornecida (entrada).
  • Assim a potência fornecida ao motor é P_{\text{fornecida}} = \frac{P_{\text{mec}}}{\varepsilon}.
  • Substituindo os valores: P_{\text{fornecida}} = \frac{423000}{0,68}\\ \mathrm{W} \approx 622058{,}82\\ \mathrm{W}.Em notação prática: P_{\text{fornecida}} \approx 6,22\times10^{5}\\ \mathrm{W} = 622\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Pequena observação prática e motivação (sem alterar resultados): o valor numérico é grande (centenas de kW) porque a aceleração 6\\ \mathrm{m/s^{2}} é alta para um carro de 2300\\ \mathrm{kg} e a velocidade já é 30\\ \mathrm{m/s}; potência escala com v e com a força necessária para acelerar, por isso o motor precisa entregar muita potência instantânea nesse instante. Força de arrasto aqui é pequena comparada com m a, mas em velocidades maiores o arrasto cresce e pode dominar a potência necessária.

Resposta

P_{\text{mec}} = 4,23\times10^{5}\\ \mathrm{W} = 423\\ \mathrm{kW}
P_{\text{fornecida}} \approx 6,22\times10^{5}\\ \mathrm{W} = 622\\ \mathrm{kW}

Exercícios relacionados