Uma corda com comprimento l e densidade de massa por comprimento \lambda é suspenso verticalmente a partir de uma das extremidades. a) Determine a tensão na em função do comprimento da corda.
b) Após resolver esse exercício, por qual motivo consideramos cordas ideais em muitos problemas?
c) Quando podemos assumir que a massa da corda está distribuída ao longo de uma dimensão apenas? (Dicas: Considere um pedaço infinitesimal de corda entre y e y+d y com uma distribuição infinitesimal de massa dada por d m=\lambda d y).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma corda vertical de comprimento l e densidade linear de massa \lambda, presa por uma extremidade no teto. Precisamos encontrar a tensão interna T em função da posição ao longo da corda, depois discutir por que muitas vezes usamos cordas ideais (sem massa) e finalmente justificar quando podemos tratar a massa da corda como distribuída em apenas uma dimensão, usando dm=\lambda\,dy.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que y mede a distância a partir da extremidade presa (topo) até um ponto genérico. Considere o segmento de corda que vai de y até l. A única força que ele exerce sobre a porção abaixo de y é a tensão T(y) para cima, equilibrando o peso dessa porção de corda. Como a massa desse pedaço é
m_{\text{abaixo}}=\int_{y}^{l}\lambda\,dy'=\lambda\,(l-y),
o seu peso é m_{\text{abaixo}}\,g=\lambda g(l-y). Daqui segue
T(y)=\lambda\,g\,(l-y).

Passo 3

Usamos cordas ideais (ou seja, de massa desprezível) em muitos exercícios porque, se \lambda=0, a tensão permanece a mesma ao longo de toda a corda. Isso simplifica enormemente a análise de sistemas com polias e blocos, pois não precisamos levar em conta variações de tensão causadas pelo peso da própria corda nem sua inércia.

Passo 4

Podemos assumir que a massa está distribuída ao longo de uma única dimensão sempre que a corda for suficientemente fina, de modo que suas dimensões transversais sejam desprezíveis em relação ao comprimento. Nesse caso a massa de um trecho infinitesimal entre y e y+dy é
dm=\lambda\,dy,
permitindo modelar a corda como uma linha unidimensional com densidade linear \lambda.

Resposta

a) T(y)=\lambda\,g\,(l-y).
b) Porque para \lambda=0 a tensão é constante, simplificando o problema.
c) Quando a corda é muito fina (diâmetro pequeno) e uniforme, de modo que só importe a distribuição de massa ao longo do comprimento, permitindo usar dm=\lambda\,dy.

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