Uma corda com comprimento
e densidade de massa por comprimento
é suspenso verticalmente a partir de uma das extremidades. a) Determine a tensão na em função do comprimento da corda.
b) Após resolver esse exercício, por qual motivo consideramos cordas ideais em muitos problemas?
c) Quando podemos assumir que a massa da corda está distribuída ao longo de uma dimensão apenas? (Dicas: Considere um pedaço infinitesimal de corda entre
e
com uma distribuição infinitesimal de massa dada por
).
b) Após resolver esse exercício, por qual motivo consideramos cordas ideais em muitos problemas?
c) Quando podemos assumir que a massa da corda está distribuída ao longo de uma dimensão apenas? (Dicas: Considere um pedaço infinitesimal de corda entre
Passo 1
O enunciado diz que temos uma corda vertical de comprimento
e densidade linear de massa
, presa por uma extremidade no teto. Precisamos encontrar a tensão interna
em função da posição ao longo da corda, depois discutir por que muitas vezes usamos cordas ideais (sem massa) e finalmente justificar quando podemos tratar a massa da corda como distribuída em apenas uma dimensão, usando
.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas em que
mede a distância a partir da extremidade presa (topo) até um ponto genérico. Considere o segmento de corda que vai de
até
. A única força que ele exerce sobre a porção abaixo de
é a tensão
para cima, equilibrando o peso dessa porção de corda. Como a massa desse pedaço é
o seu peso é
. Daqui segue
Passo 3
Usamos cordas ideais (ou seja, de massa desprezível) em muitos exercícios porque, se
, a tensão permanece a mesma ao longo de toda a corda. Isso simplifica enormemente a análise de sistemas com polias e blocos, pois não precisamos levar em conta variações de tensão causadas pelo peso da própria corda nem sua inércia.
Passo 4
Podemos assumir que a massa está distribuída ao longo de uma única dimensão sempre que a corda for suficientemente fina, de modo que suas dimensões transversais sejam desprezíveis em relação ao comprimento. Nesse caso a massa de um trecho infinitesimal entre
e
é
permitindo modelar a corda como uma linha unidimensional com densidade linear
.
Resposta
a)
.
b) Porque para a tensão é constante, simplificando o problema.
c) Quando a corda é muito fina (diâmetro pequeno) e uniforme, de modo que só importe a distribuição de massa ao longo do comprimento, permitindo usar .
b) Porque para
c) Quando a corda é muito fina (diâmetro pequeno) e uniforme, de modo que só importe a distribuição de massa ao longo do comprimento, permitindo usar