Uma corda com comprimento l e densidade de massa por comprimento \lambda é suspenso verticalmente a partir de uma das extremidades. a) Determine a tensão na em função do comprimento da corda.
b) Após resolver esse exercício, por qual motivo consideramos cordas ideais em muitos problemas?
c) Quando podemos assumir que a massa da corda está distribuída ao longo de uma dimensão apenas? (Dicas: Considere um pedaço infinitesimal de corda entre y e y+d y com uma distribuição infinitesimal de massa dada por d m=\lambda d y).

Passo 1

O enunciado dá uma corda de comprimento l e densidade linear de massa \lambda, pendurada verticalmente por uma de suas extremidades, e pede (a) a tensão ao longo da corda, (b) por que em muitos problemas tratamos cordas ideais e (c) em que condições podemos considerar a massa da corda distribuída numa só dimensão. Para (a) vamos usar o equilíbrio de forças num elemento infinitesimal de corda e integrar a equação diferencial resultante.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas x medido a partir da extremidade fixa (topo) para baixo. Num trecho de corda entre x e x + dx atuam duas tensões: T(x) acima e T(x+dx) abaixo, além do peso desse trecho, dm\,g. A condição de equilíbrio vertical exige que
T(x+dx)-T(x)-dm\,g=0.

Passo 3

Como a massa do trecho é dm=\lambda\,dx, a equação do passo anterior fica
T(x+dx)-T(x)-\lambda\,dx\;g=0
e, no limite dx\to0,
\frac{dT}{dx}=-\lambda\,g.

Passo 4

Integramos \frac{dT}{dx}=-\lambda g para obter
T(x)=C-\lambda\,g\,x.
Impondo a condição de contorno na extremidade livre ( x=l, onde não há nada pendurado), T(l)=0, deduzimos C=\lambda\,g\,l. Logo
T(x)=\lambda\,g\,(l-x).

Passo 5

Tratamos cordas ideais (sem massa) para simplificar a análise: daí a tensão é a mesma em todo o comprimento e não precisamos resolver equações diferenciais — basta aplicar equilíbrio de forças em todo o sistema sem ter de levar em conta variação de peso ao longo da corda.

Passo 6

Podemos assumir que a massa está distribuída em uma só dimensão quando a corda é muito longa e fina (seu comprimento muito maior que a seção transversal), de modo que variações de massa em direções transversais sejam desprezíveis e toda a massa possa ser modelada por \lambda\,dy ao longo do eixo da corda.

Resposta

(a) \displaystyle T(x)=\lambda\,g\,(l - x).
(b) Porque ao desprezarmos a massa da corda a tensão torna-se uniforme, simplificando muito a resolução de equilíbrio.
(c) Quando a corda é um corpo delgado cujo comprimento é muito maior que as dimensões transversais, de modo que toda a massa possa ser tratada como distribuída apenas ao longo de seu comprimento.

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