Uma corda com comprimento
e densidade de massa por comprimento
é suspenso verticalmente a partir de uma das extremidades. a) Determine a tensão na em função do comprimento da corda.
b) Após resolver esse exercício, por qual motivo consideramos cordas ideais em muitos problemas?
c) Quando podemos assumir que a massa da corda está distribuída ao longo de uma dimensão apenas? (Dicas: Considere um pedaço infinitesimal de corda entre
e
com uma distribuição infinitesimal de massa dada por
).
b) Após resolver esse exercício, por qual motivo consideramos cordas ideais em muitos problemas?
c) Quando podemos assumir que a massa da corda está distribuída ao longo de uma dimensão apenas? (Dicas: Considere um pedaço infinitesimal de corda entre
Passo 1
O enunciado dá uma corda de comprimento
e densidade linear de massa
, pendurada verticalmente por uma de suas extremidades, e pede (a) a tensão ao longo da corda, (b) por que em muitos problemas tratamos cordas ideais e (c) em que condições podemos considerar a massa da corda distribuída numa só dimensão. Para (a) vamos usar o equilíbrio de forças num elemento infinitesimal de corda e integrar a equação diferencial resultante.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas
medido a partir da extremidade fixa (topo) para baixo. Num trecho de corda entre
e
atuam duas tensões:
acima e
abaixo, além do peso desse trecho,
. A condição de equilíbrio vertical exige que
Passo 3
Como a massa do trecho é
, a equação do passo anterior fica
e, no limite
,
Passo 4
Integramos
para obter
Impondo a condição de contorno na extremidade livre (
, onde não há nada pendurado),
, deduzimos
. Logo
Passo 5
Tratamos cordas ideais (sem massa) para simplificar a análise: daí a tensão é a mesma em todo o comprimento e não precisamos resolver equações diferenciais — basta aplicar equilíbrio de forças em todo o sistema sem ter de levar em conta variação de peso ao longo da corda.
Passo 6
Podemos assumir que a massa está distribuída em uma só dimensão quando a corda é muito longa e fina (seu comprimento muito maior que a seção transversal), de modo que variações de massa em direções transversais sejam desprezíveis e toda a massa possa ser modelada por
ao longo do eixo da corda.
Resposta
(a)
.
(b) Porque ao desprezarmos a massa da corda a tensão torna-se uniforme, simplificando muito a resolução de equilíbrio.
(c) Quando a corda é um corpo delgado cujo comprimento é muito maior que as dimensões transversais, de modo que toda a massa possa ser tratada como distribuída apenas ao longo de seu comprimento.
(b) Porque ao desprezarmos a massa da corda a tensão torna-se uniforme, simplificando muito a resolução de equilíbrio.
(c) Quando a corda é um corpo delgado cujo comprimento é muito maior que as dimensões transversais, de modo que toda a massa possa ser tratada como distribuída apenas ao longo de seu comprimento.