Uma corda é esticada entre dois suportes fixos separados de uma distância
. a) Para quais harmônicos existirá um nó no ponto que dista
de um dos suportes? b) Existirá um nó, um antinó ou uma condição Intermediárla num ponto que dista
de um dos suportes, se o quinto harmônico foi gerado?
(1 ponto)
(1 ponto)
Passo 1
O enunciado dá uma corda fixa em ambas as extremidades, separadas por uma distância
. Há duas perguntas:
a) Em que harmônicos haverá um nó no ponto que dista de um dos suportes?
b) Se o quinto harmônico ( ) foi gerado, o ponto que dista
do suporte será um nó, um antinó ou uma condição intermediária?
a) Em que harmônicos haverá um nó no ponto que dista
b) Se o quinto harmônico (
Informações relevantes fornecidas:
- A corda tem extremidades fixas em
e . - Distâncias dos pontos:
(para a pergunta a) e (para a pergunta b)). - Na pergunta b) foi explicitamente gerado o quinto harmônico (
).
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): em uma corda com extremidades fixas, os modos normais (harmônicos) formam ondas estacionárias. A forma espacial do modo
pode ser escrita (apenas a dependência espacial que interessa para nós):
onde:
-
é a amplitude (constante), -
é o número de onda, -
é a frequência angular, -
é a posição ao longo da corda.
Condição das extremidades fixas (
e
) impõe que
As soluções não-triviais ocorrem quando
, com
inteiro positivo. Portanto
Passo 3
Definição de nós e sua posição: nós são pontos onde a amplitude espacial é sempre zero, isto é, onde
. Isso ocorre quando
com
inteiro (incluindo
e
nas extremidades). Substituindo
obtemos a fórmula das posições de nós:
onde
. Ou seja, os nós estão em posições múltiplas de
.
Explicação intuitiva: para o modo
a corda é dividida em
segmentos iguais entre nós; o espaçamento entre nós adjacentes é
.
Passo 4
Resolvendo a parte (a): queremos
ser um nó. Pela fórmula dos nós:
Cancelando
(não nulo) obtemos
Isto significa que
deve ser múltiplo de
. Como
é inteiro entre
e
, valores possíveis de
(positivos) são
. Ou seja: todos os harmônicos cujo número é divisível por
.
Pequena verificação numérica: para
temos nós em
(de fato
é nó). Para
os nós aparecem em passos de
, e
também é nó (corresponde a
).
Passo 5
Preparação para a parte (b): para verificar se em
há nó, antinó ou intermediária quando o quinto harmônico (
) está presente, usamos as fórmulas:
- nós:
, ; - antinós: posições onde
atinge , ou seja quando . Substituindo dá
com
inteiro.
Passo 6
Aplicando para
:
- posições de nós:
para . Isso gera os nós em . - posições de antinós:
para , ou seja .
Comparando: o ponto dado
é igual a
com
. Logo é exatamente um nó no quinto harmônico. Também vemos que
não coincide com nenhuma posição de antinó (que exigiriam numerador ímpar sobre
).
Passo 7
Resumo físico e dica para a prova: para checar rapidamente se um ponto
é nó num modo
, compute a razão
. Se
com
inteiro, é nó. Se
com
inteiro, é antinó. Caso contrário, é uma posição intermediária (amplitude variável no tempo, nem sempre zero nem máxima).
Resposta
(a) Todos os harmônicos cujo número
é múltiplo de
:
.
(b) Nó.
(b) Nó.