Uma corda é esticada entre dois suportes fixos separados de uma distância L. a) Para quais harmônicos existirá um nó no ponto que dista L / 3 de um dos suportes? b) Existirá um nó, um antinó ou uma condição Intermediárla num ponto que dista 2 L / 5 de um dos suportes, se o quinto harmônico foi gerado?
(1 ponto)

Passo 1

O enunciado dá uma corda fixa em ambas as extremidades, separadas por uma distância L. Há duas perguntas:
a) Em que harmônicos haverá um nó no ponto que dista L/3 de um dos suportes?
b) Se o quinto harmônico ( n=5) foi gerado, o ponto que dista 2L/5 do suporte será um nó, um antinó ou uma condição intermediária?
Informações relevantes fornecidas:
  • A corda tem extremidades fixas em x=0 e x=L.
  • Distâncias dos pontos: x=L/3 (para a pergunta a) e x=2L/5 (para a pergunta b)).
  • Na pergunta b) foi explicitamente gerado o quinto harmônico ( n=5).

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): em uma corda com extremidades fixas, os modos normais (harmônicos) formam ondas estacionárias. A forma espacial do modo n pode ser escrita (apenas a dependência espacial que interessa para nós):
y(x,t)=A\sin(kx)\cos(\omega t)
onde:
  • A é a amplitude (constante),
  • k é o número de onda,
  • \omega é a frequência angular,
  • x é a posição ao longo da corda.
Condição das extremidades fixas ( y(0,t)=0 e y(L,t)=0) impõe que
\sin(kL)=0.
As soluções não-triviais ocorrem quando kL = n\pi, com n inteiro positivo. Portanto
k = \frac{n\pi}{L}.

Passo 3

Definição de nós e sua posição: nós são pontos onde a amplitude espacial é sempre zero, isto é, onde \sin(kx)=0. Isso ocorre quando
k x = m\pi,
com m inteiro (incluindo m=0 e m=n nas extremidades). Substituindo k=\dfrac{n\pi}{L} obtemos a fórmula das posições de nós:
x = \frac{m\pi}{k} = \frac{m\pi}{(n\pi/L)} = \frac{mL}{n},
onde m=0,1,2,\dots,n. Ou seja, os nós estão em posições múltiplas de L/n.
Explicação intuitiva: para o modo n a corda é dividida em n segmentos iguais entre nós; o espaçamento entre nós adjacentes é L/n.

Passo 4

Resolvendo a parte (a): queremos x=\dfrac{L}{3} ser um nó. Pela fórmula dos nós:
\frac{L}{3} = \frac{mL}{n}.
Cancelando L (não nulo) obtemos
\frac{1}{3} = \frac{m}{n} \quad\Longrightarrow\quad n = 3m.
Isto significa que n deve ser múltiplo de 3. Como m é inteiro entre 0 e n, valores possíveis de n (positivos) são n=3,6,9,\dots. Ou seja: todos os harmônicos cujo número é divisível por 3.
Pequena verificação numérica: para n=3 temos nós em x=0,\;L/3,\;2L/3,\;L (de fato L/3 é nó). Para n=6 os nós aparecem em passos de L/6, e L/3=2L/6 também é nó (corresponde a m=2).

Passo 5

Preparação para a parte (b): para verificar se em x=2L/5 há nó, antinó ou intermediária quando o quinto harmônico ( n=5) está presente, usamos as fórmulas:
  • nós: x = \dfrac{mL}{n}, m\in\{0,\dots,n\};
  • antinós: posições onde \sin(kx) atinge \pm 1, ou seja quando kx = (2m+1)\dfrac{\pi}{2}. Substituindo k=\dfrac{n\pi}{L}
x = \frac{(2m+1)L}{2n},
com m inteiro.

Passo 6

Aplicando para n=5:
  • posições de nós: x = \dfrac{mL}{5} para m=0,1,2,3,4,5. Isso gera os nós em x=0,\;L/5,\;2L/5,\;3L/5,\;4L/5,\;L.
  • posições de antinós: x = \dfrac{(2m+1)L}{10} para m=0,1,2,3,4, ou seja x=L/10,\;3L/10,\;5L/10,\;7L/10,\;9L/10.
Comparando: o ponto dado x=2L/5 é igual a 2L/5 = \dfrac{2L}{5} = \dfrac{mL}{5} com m=2. Logo é exatamente um nó no quinto harmônico. Também vemos que 2L/5 = 4L/10 não coincide com nenhuma posição de antinó (que exigiriam numerador ímpar sobre 10).

Passo 7

Resumo físico e dica para a prova: para checar rapidamente se um ponto x é nó num modo n, compute a razão \dfrac{x}{L}. Se \dfrac{x}{L}=\dfrac{m}{n} com m inteiro, é nó. Se \dfrac{x}{L}=\dfrac{2m+1}{2n} com m inteiro, é antinó. Caso contrário, é uma posição intermediária (amplitude variável no tempo, nem sempre zero nem máxima).

Resposta

(a) Todos os harmônicos cujo número n é múltiplo de 3: n=3,6,9,\dots.
(b) Nó.

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