Uma corda na qual ondas podem se propagar tem 2,70 m de comprimento. Qual deve ser a frequência se a onda progressiva tiver uma amplitude de 7,70 \mathrm{~mm} para que a potência média seja 85,0 \mathrm{~W}?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma corda de comprimento L = 2,70\\ \mathrm{m} e massa m = 0,250\\ \mathrm{kg}, tensionada com T = 36,0\\ \mathrm{N}. Nela propaga-se uma onda com amplitude A = 7,70\\ \mathrm{mm} e queremos que a potência média transportada seja P = 85,0\\ \mathrm{W}. Para resolver, vamos usar:
  1. A densidade linear \mu = m/L.
  2. A velocidade de propagação v = \sqrt{T/\mu}.
  3. A fórmula da potência média de uma onda transversal numa corda
P = \tfrac12\,\mu\,v\,\omega^2\,A^2,
onde \omega = 2\pi f é a frequência angular.

Passo 2

Calcular \mu e v:
\mu = \frac{0,250}{2,70}\approx0,0926\\ \mathrm{kg/m},
v = \sqrt{\frac{36,0}{0,0926}}\approx\sqrt{388,80}\approx19,72\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Escrever P em função de f. Como \omega=2\pi f,
P = \tfrac12\,\mu\,v\,(2\pi f)^2\,A^2 = 2\pi^2\,\mu\,v\,A^2\,f^2.

Passo 4

Isolar f:
f^2 = \frac{P}{2\pi^2\,\mu\,v\,A^2} \quad\Longrightarrow\quad f = \sqrt{\frac{P}{2\pi^2\,\mu\,v\,A^2}}.

Passo 5

Substituindo os valores (com A=7,70\\ \mathrm{mm}=7{,}70\times10^{-3}\\ \mathrm{m}):
f = \sqrt{\frac{85{,}0}{2\pi^2\,(0,0926)\,(19,72)\,(7{,}70\times10^{-3})^2}} \approx200\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

A frequência deve ser aproximadamente 200\\ \mathrm{Hz}.

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