Questão 5.Uma partícula deixa a origem com uma velocidade inicial \vec{v_{0}}=(5,00 \hat{i}) \mathrm{m} / \mathrm{s} e uma aceleraçāo constante \vec{a}=(-1,00 \hat{i}-0,500 \hat{j}) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} .Quando a particula atinge sua coordenada x máxima,determine em termos das componentes \hat{\mathrm{i}} e \hat{\mathrm{j}}
(a)o vetor velocidade;
(b)o vetor posição;

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula que parte da origem com velocidade inicial \vec{v}_0 = (5,00\,\hat{i})\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
e sofre aceleração constante \vec{a} = (-1,00\,\hat{i} - 0,500\,\hat{j})\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
Queremos saber, no instante em que a coordenada x atinge o valor máximo, quais são:
a) o vetor velocidade \vec{v};
b) o vetor posição \vec{r}.
O conteúdo de matéria é cinemática vetorial com aceleração constante, usando as fórmulas
\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}\,t
e
\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0\,t + \tfrac12\,\vec{a}\,t^2,
sabendo que \vec{r}_0=(0,0).

Passo 2

Para que x seja máximo, a componente v_x da velocidade deve ser zero. Da equação
v_x(t) = v_{0x} + a_x\,t
temos
0 = 5,00 + (-1,00)\,t \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{5,00}{1,00} = 5,00\\ \mathrm{s}.

Passo 3

No instante t=5{,}00\\ \mathrm{s}, o vetor velocidade é
\vec{v}(5) = \vec{v}_0 + \vec{a}\,(5) = (5{,}00\,\hat{i}) + (-1{,}00\,\hat{i}-0{,}500\,\hat{j})\cdot5
Calculando componentes:
v_x = 5{,}00 + (-1{,}00)\times5 = 0,\qquad v_y = 0 + (-0{,}500)\times5 = -2{,}50.
Logo
\vec{v} = 0\,\hat{i} \;-\; 2{,}50\,\hat{j}\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 4

Ainda em t=5{,}00\\ \mathrm{s}, a posição é
\vec{r}(5) = \vec{v}_0\,5 + \tfrac12\,\vec{a}\,(5)^2 = (5{,}00\,\hat{i})\cdot5 + \tfrac12\,(-1{,}00\,\hat{i}-0{,}500\,\hat{j})\cdot25.
Componentes:
x = 5{,}00\times5 + \tfrac12(-1{,}00)\times25 = 25 - 12{,}5 = 12{,}5,
y = 0 + \tfrac12(-0{,}500)\times25 = -6{,}25.
Portanto
\vec{r} = 12{,}50\,\hat{i} \;-\; 6{,}25\,\hat{j}\quad(\mathrm{m}).

Resposta

(a) \vec{v} = 0\,\hat{i} - 2{,}50\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s}.
(b) \vec{r} = 12{,}50\,\hat{i} - 6{,}25\,\hat{j}\\ \mathrm{m}.

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