Uma corda é usada para baixar verticalmente um bloco de massa M, inicialmente em repouso, com uma aceleração constante para baixo de g/4. Após o bloco descer uma distância d, determine
(a) o trabalho realizado pela força da corda sobre o bloco,
(b) o trabalho realizado pela força gravitacional sobre o bloco,
© a energia cinética do bloco,
(d) a velocidade do bloco.
(a) o trabalho realizado pela força da corda sobre o bloco,
(b) o trabalho realizado pela força gravitacional sobre o bloco,
© a energia cinética do bloco,
(d) a velocidade do bloco.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma corda puxando um bloco de massa $ M $ para baixo com uma aceleração constante de $ \frac{g}{4} $. O bloco desce uma distância $ d $. Vamos precisar usar conceitos de dinâmica (leis de Newton), trabalho e energia. Vamos calcular o trabalho da força da corda, o trabalho da gravidade, a energia cinética e a velocidade do bloco após descer $ d $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças agindo no bloco. Tem a força da corda ($ T
P = M \cdot g $) puxando para baixo também. Mas, como o bloco está acelerando para baixo com $ \frac{g}{4} $, isso significa que a força resultante está nessa direção.
De acordo com a segunda lei de Newton:
Onde $ a = \frac{g}{4} $.
Passo 3
As forças atuantes são:
- Força da corda: $ T $ (para baixo)
- Força da gravidade: $ P = M \cdot g $ (para baixo)
A força resultante:
Porque a força da corda está se opondo ao movimento.
Então:
Passo 4
Resolvendo para $ T $:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (a): o trabalho realizado pela força da corda sobre o bloco.
Trabalho ($ W $) é dado por:
Como a força da corda está na mesma direção do deslocamento (para baixo), o trabalho será positivo.
Então:
Passo 6
Parte (b): o trabalho realizado pela força gravitacional sobre o bloco.
A força gravitacional também está na mesma direção do deslocamento, então o trabalho é positivo.
Passo 7
Parte ©: a energia cinética do bloco após descer a distância $ d $.
A energia cinética ($ K $) é dada por:
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade ($ v $) após descer $ d $. Mas vamos deixar isso para a parte (d).
Passo 8
Parte (d): a velocidade do bloco após descer a distância $ d $.
Como o bloco parte do repouso, podemos usar a equação de movimento:
Onde $ u = 0 $ (inicialmente em repouso), $ a = \frac{g}{4} $.
Então:
Passo 9
Agora que temos a velocidade, vamos voltar à parte © para calcular a energia cinética.
Substituindo $ v^2 $:
Resposta
(a) O trabalho realizado pela força da corda é $ W_T = \frac{3}{4} M g d $.
(b) O trabalho realizado pela força gravitacional é $ W_P = M g d $.
© A energia cinética do bloco após descer $ d $ é $ K = \frac{M g d}{4} $.
(d) A velocidade do bloco após descer $ d $ é $ v = \sqrt{\frac{g d}{2}} $.