Uma corda é usada para baixar verticalmente um bloco de massa M, inicialmente em repouso, com uma aceleração constante para baixo de g/4. Após o bloco descer uma distância d, determine
(a) o trabalho realizado pela força da corda sobre o bloco,
(b) o trabalho realizado pela força gravitacional sobre o bloco,
© a energia cinética do bloco,
(d) a velocidade do bloco.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma corda puxando um bloco de massa $ M $ para baixo com uma aceleração constante de $ \frac{g}{4} $. O bloco desce uma distância $ d $. Vamos precisar usar conceitos de dinâmica (leis de Newton), trabalho e energia. Vamos calcular o trabalho da força da corda, o trabalho da gravidade, a energia cinética e a velocidade do bloco após descer $ d $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças agindo no bloco. Tem a força da corda ($ T T ç P = M \cdot g $) puxando para baixo também. Mas, como o bloco está acelerando para baixo com $ \frac{g}{4} $, isso significa que a força resultante está nessa direção.
De acordo com a segunda lei de Newton:
P = M cdot g
Onde $ a = \frac{g}{4} $.

Passo 3

As forças atuantes são:
  • Força da corda: $ T $ (para baixo)
  • Força da gravidade: $ P = M \cdot g $ (para baixo)
A força resultante:
T
Porque a força da corda está se opondo ao movimento.
Então:
P = M cdot g

Passo 4

Resolvendo para $ T $:
T
T = M cdot g - M cdot g4
T = M cdot g (1 - 14)
T = M cdot g cdot 34

Passo 5

Agora, vamos para a parte (a): o trabalho realizado pela força da corda sobre o bloco.
Trabalho ($ W $) é dado por:
W
Como a força da corda está na mesma direção do deslocamento (para baixo), o trabalho será positivo.
Então:
W = F cdot d
WT = T cdot d

Passo 6

Parte (b): o trabalho realizado pela força gravitacional sobre o bloco.
A força gravitacional também está na mesma direção do deslocamento, então o trabalho é positivo.
WP = P cdot d
WP = M g cdot d

Passo 7

Parte ©: a energia cinética do bloco após descer a distância $ d $.
A energia cinética ($ K $) é dada por:
d
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade ($ v $) após descer $ d $. Mas vamos deixar isso para a parte (d).

Passo 8

Parte (d): a velocidade do bloco após descer a distância $ d $.
Como o bloco parte do repouso, podemos usar a equação de movimento:
d
Onde $ u = 0 $ (inicialmente em repouso), $ a = \frac{g}{4} $.
Então:
v^2 = u^2 + 2 a d
u = 0
a = g4

Passo 9

Agora que temos a velocidade, vamos voltar à parte © para calcular a energia cinética.
K = 12 M v^2
Substituindo $ v^2 $:
v^2
K = 12 M cdot g d2

Resposta

(a) O trabalho realizado pela força da corda é $ W_T = \frac{3}{4} M g d $.
(b) O trabalho realizado pela força gravitacional é $ W_P = M g d $.
© A energia cinética do bloco após descer $ d $ é $ K = \frac{M g d}{4} $.
(d) A velocidade do bloco após descer $ d $ é $ v = \sqrt{\frac{g d}{2}} $.

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