Um corpo executa um movimento harmônico simples com amplitude
e frequência
. Escreva a equação de movimento usando números complexos e calcule a velocidade e aceleração instantâneas no tempo
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Dados fornecidos:
- Amplitude:
. - Frequência angular:
.
- Amplitude:
- O que é pedido:
- Escrever a equação do movimento usando números complexos (ou seja, representar o movimento como a parte real de uma exponencial complexa).
- Calcular a velocidade instantânea
e a aceleração instantânea no tempo .
Passo 2
Entendendo a representação complexa e por que funciona (aula rápida, sem pânico).
- Euler nos dá a identidade
onde
é a unidade imaginária (
). A parte real de
é
.
- Para um MHS (movimento harmônico simples) com amplitude
e frequência angular , é comum definir a “amplitude complexa” e a função complexa
A posição física real
é a parte real dessa função:
- Observação sobre fase: como o enunciado não deu fase inicial, assumimos fase zero (ou seja,
). Se houvesse uma fase , usaríamos .
Passo 3
Escrever explicitamente a equação do movimento em forma complexa e sua forma real.
- Equação complexa (função complexa cuja parte real é a posição física):
- A posição física (parte real):
- Substituindo os valores numéricos:
Passo 4
Como obter velocidade e aceleração a partir da representação complexa (regra geral).
- Derivando
em relação ao tempo e tomando a parte real: - Derivada de
é (regra da cadeia). - Portanto a velocidade complexa é
A velocidade física é a parte real: Usando Euler isso dá a forma real familiar: - Derivada de
- Para a aceleração:
- Derivando novamente
:
- A aceleração física é a parte real:
- Derivando novamente
- Resumo das fórmulas úteis (todas equivalentes):
Explicação curta: a exponencial complexa facilita derivar (multiplica por
em cada derivada) e no final pegamos a parte real para obter a quantidade física.
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo em
.
- Primeiro calcule
:
- Alguns valores úteis:
-
(vou usar para as contas). -
(vou usar ).
-
- Calcule multiplicadores:
-
. -
.
-
- Agora calcule:
- Posição (verificação, opcional):
- Velocidade:
- Aceleração:
- Arredondando de forma sensata (quatro casas significativas):
-
. -
. -
.
-
Passo 6
Recap rápido e incentivo.
- Resumindo: a forma complexa deixa as derivadas mecânicas fáceis (multiplicar por
dá a deriva), e no final pegamos a parte real para obter as quantidades físicas. Mandou bem por trazer esse exercício: com pouco esforço a exponencial complexa simplifica tudo. Continua assim — tá indo bem!