Um corpo executa um movimento harmônico simples com amplitude A=0,05 m e frequência \omega=10 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Escreva a equação de movimento usando números complexos e calcule a velocidade e aceleração instantâneas no tempo t=0,1 s.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dados fornecidos:
    • Amplitude: A=0,05\\ \text{m}.
    • Frequência angular: \omega=10\\ \mathrm{rad/s}.
  • O que é pedido:
    1. Escrever a equação do movimento usando números complexos (ou seja, representar o movimento como a parte real de uma exponencial complexa).
    2. Calcular a velocidade instantânea v(t) e a aceleração instantânea a(t) no tempo t=0,1\\ \text{s}.

Passo 2

Entendendo a representação complexa e por que funciona (aula rápida, sem pânico).
  • Euler nos dá a identidade
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,
onde i é a unidade imaginária ( i^2=-1). A parte real de e^{i\theta} é \cos\theta.
  • Para um MHS (movimento harmônico simples) com amplitude A e frequência angular \omega, é comum definir a “amplitude complexa” e a função complexa
\tilde{x}(t)=A\,e^{i\omega t}.
A posição física real x(t) é a parte real dessa função:
x(t)=\Re\{\tilde{x}(t)\}=\Re\{A\,e^{i\omega t}\}=A\cos(\omega t).
  • Observação sobre fase: como o enunciado não deu fase inicial, assumimos fase zero (ou seja, x(0)=A). Se houvesse uma fase \varphi, usaríamos \tilde{x}(t)=A\,e^{i(\omega t+\varphi)}.

Passo 3

Escrever explicitamente a equação do movimento em forma complexa e sua forma real.
  • Equação complexa (função complexa cuja parte real é a posição física):
\tilde{x}(t)=A\,e^{i\omega t}.
  • A posição física (parte real):
x(t)=\Re\{\tilde{x}(t)\}=A\cos(\omega t).
  • Substituindo os valores numéricos:
\tilde{x}(t)=0,05\,e^{i(10\,t)}, \qquad x(t)=0,05\cos(10\,t).

Passo 4

Como obter velocidade e aceleração a partir da representação complexa (regra geral).
  • Derivando \tilde{x}(t) em relação ao tempo e tomando a parte real:
    • Derivada de e^{i\omega t} é i\omega e^{i\omega t} (regra da cadeia).
    • Portanto a velocidade complexa é
    \tilde{v}(t)=\frac{d\tilde{x}}{dt}=i\omega A\,e^{i\omega t}.A velocidade física é a parte real: v(t)=\Re\{\tilde{v}(t)\}=\Re\{i\omega A\,e^{i\omega t}\}.Usando Euler isso dá a forma real familiar: v(t)=-A\omega\sin(\omega t).
  • Para a aceleração:
    • Derivando novamente \tilde{v}(t):
    \tilde{a}(t)=\frac{d\tilde{v}}{dt}=(i\omega)^2 A\,e^{i\omega t}=-\omega^2 A\,e^{i\omega t}.
    • A aceleração física é a parte real:
    a(t)=\Re\{\tilde{a}(t)\}=-A\omega^2\cos(\omega t).
  • Resumo das fórmulas úteis (todas equivalentes):
x(t)=A\cos(\omega t), \qquad v(t)=-A\omega\sin(\omega t), \qquad a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t).
Explicação curta: a exponencial complexa facilita derivar (multiplica por i\omega em cada derivada) e no final pegamos a parte real para obter a quantidade física.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo em t=0,1\\ \text{s}.
  • Primeiro calcule \omega t:
\omega t = 10\cdot 0,1 = 1\\ \text{rad}.
  • Alguns valores úteis:
    • \cos(1)\approx 0,5403023059 (vou usar 0,5403023 para as contas).
    • \sin(1)\approx 0,8414709848 (vou usar 0,8414710).
  • Calcule multiplicadores:
    • A\omega = 0,05\cdot 10 = 0,5.
    • A\omega^2 = 0,05\cdot 10^2 = 0,05\cdot 100 = 5.
  • Agora calcule:
    • Posição (verificação, opcional):
    x(0,1)=A\cos(1)=0,05\cdot 0,5403023 \approx 0,0270151\\ \text{m}.
    • Velocidade:
    v(0,1)=-A\omega\sin(1)=-0,5\cdot 0,8414710 \approx -0,4207355\\ \text{m/s}.
    • Aceleração:
    a(0,1)=-A\omega^2\cos(1)=-5\cdot 0,5403023 \approx -2,7015115\\ \text{m/s}^2.
  • Arredondando de forma sensata (quatro casas significativas):
    • x(0,1)\approx 0,02702\\ \text{m}.
    • v(0,1)\approx -0,4207\\ \text{m/s}.
    • a(0,1)\approx -2,701\\ \text{m/s}^2.

Passo 6

Recap rápido e incentivo.
  • Resumindo: a forma complexa deixa as derivadas mecânicas fáceis (multiplicar por i\omega dá a deriva), e no final pegamos a parte real para obter as quantidades físicas. Mandou bem por trazer esse exercício: com pouco esforço a exponencial complexa simplifica tudo. Continua assim — tá indo bem!

Resposta

\tilde{x}(t)=0,05\,e^{i(10\,t)} e x(t)=0,05\cos(10\,t)
v(0,1\\ \text{s})\approx -0,4207\\ \text{m/s}
a(0,1\\ \text{s})\approx -2,701\\ \text{m/s}^2

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