Um sistema massa-mola-amortecedor possui os seguintes parâmetros:
- Massa:
- Rigidez da mola:
- Coeficiente de amortecimento:
No instante inicial
, o sistema é deslocado de
e solto com velocidade inicial
.
a) Classifique o tipo de amortecimento do sistema.
b) Encontre a equação do movimento
, com base nas condições iniciais fornecidas.
c) Determine as raízes da equação característica do sistema.
a) Classifique o tipo de amortecimento do sistema.
b) Encontre a equação do movimento
c) Determine as raízes da equação característica do sistema.
Passo 1
O enunciado nos dá os dados iniciais e pede três coisas. Dados (peguei os valores exatamente do enunciado):
- Massa:
. - Rigidez da mola:
. - Coeficiente de amortecimento:
. - Condições iniciais:
e .
O que é pedido:
(a) classificar o tipo de amortecimento (sobre-amortecido, criticamente amortecido ou subamortecido);
(b) encontrar a equação do movimento usando as condições iniciais;
(c) determinar as raízes da equação característica do sistema.
(a) classificar o tipo de amortecimento (sobre-amortecido, criticamente amortecido ou subamortecido);
(b) encontrar a equação do movimento
(c) determinar as raízes da equação característica do sistema.
Passo 2
Escrevendo a equação do movimento para o sistema massa-mola-amortecedor sem força externa:
Aqui
é a posição em metros,
a velocidade (m/s),
a aceleração (m/s²),
em kg,
em Ns/m e
em N/m.
Para resolver, formamos a equação característica associada, trocando
,
:
As raízes
dessa quadrática determinam o comportamento: se as raízes são reais e distintas é sobre-amortecido; reais e repetidas é criticamente amortecido; complexas conjugadas é subamortecido (oscilações amortecidas).
Passo 3
Para decidir o tipo de amortecimento compare
com o coeficiente crítico
Calculemos passo a passo:
Comparando com o valor dado
, vemos que
. Portanto o sistema é subamortecido (amortecimento leve): existe oscilação com amortecimento exponencial.
Passo 4
Para montar a solução útil, calculemos a frequência natural não amortecida
e a razão de amortecimento
:
A razão de amortecimento
é
Uma forma prática que usaremos é o termo de decaimento
:
Note que
.
Passo 5
Como o sistema é subamortecido, a frequência amortecida
é
(Para este problema a diferença entre
e
é praticamente desprezível, porque o amortecimento é muito pequeno.)
Passo 6
Escrevemos agora a solução geral para o caso subamortecido:
Explicando as constantes:
-
e são constantes determinadas pelas condições iniciais; - o fator
descreve o decaimento exponencial da amplitude; -
é a frequência angular das oscilações amortecidas (rad/s).
Usando
e
obtemos:
avaliando em :
avaliando em
Para achar
, calcule
. Derivando:
Em
isso vira
Como
, isolamos
:
Passo 7
Agora substituímos os valores numéricos:
Logo
Passo 8
Escrevendo a solução final com os números encontrados:
Explicação prática: o termo em
domina (é o deslocamento inicial), o termo em
é muito pequeno porque a velocidade inicial é zero e o amortecimento é leve; a exponencial
faz a amplitude diminuir com constante de tempo
.
Passo 9
Determinando explicitamente as raízes da equação característica
:
Substituindo:
Essas são raízes complexas conjugadas com parte real negativa (decay) e parte imaginária
(oscilação).
Resposta
(a) Subamortecido (amortecimento leve).
(b)
(c)