Um sistema massa-mola-amortecedor possui os seguintes parâmetros:
  • Massa: m=4 k g
  • Rigidez da mola: k=1540 \mathrm{~N} / \mathrm{m}
  • Coeficiente de amortecimento: c=0,8 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}
No instante inicial t=0, o sistema é deslocado de 10 c m e solto com velocidade inicial x^{\prime}(0)=0.
a) Classifique o tipo de amortecimento do sistema.
b) Encontre a equação do movimento \mathrm{x}(\mathrm{t}), com base nas condições iniciais fornecidas.
c) Determine as raízes da equação característica do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá os dados iniciais e pede três coisas. Dados (peguei os valores exatamente do enunciado):
  • Massa: m=4\\ \mathrm{kg}.
  • Rigidez da mola: k=1540\\ \mathrm{N/m}.
  • Coeficiente de amortecimento: c=0,8\\ \mathrm{Ns/m}.
  • Condições iniciais: x(0)=10\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m} e x'(0)=0.
O que é pedido:
(a) classificar o tipo de amortecimento (sobre-amortecido, criticamente amortecido ou subamortecido);
(b) encontrar a equação do movimento x(t) usando as condições iniciais;
(c) determinar as raízes da equação característica do sistema.

Passo 2

Escrevendo a equação do movimento para o sistema massa-mola-amortecedor sem força externa:
m\,x''(t)+c\,x'(t)+k\,x(t)=0.
Aqui x(t) é a posição em metros, x'(t) a velocidade (m/s), x''(t) a aceleração (m/s²), m em kg, c em Ns/m e k em N/m.
Para resolver, formamos a equação característica associada, trocando x''\mapsto s^{2}, x'\mapsto s:
m s^{2} + c s + k = 0.
As raízes s dessa quadrática determinam o comportamento: se as raízes são reais e distintas é sobre-amortecido; reais e repetidas é criticamente amortecido; complexas conjugadas é subamortecido (oscilações amortecidas).

Passo 3

Para decidir o tipo de amortecimento compare c com o coeficiente crítico
c_{\mathrm{cr}} = 2\sqrt{m k}.
Calculemos passo a passo:
m k = 4\cdot1540 = 6160,
\sqrt{m k}=\sqrt{6160}\approx 78,547\\ (\text{unidade: }\mathrm{kg^{1/2}N^{1/2}/m^{1/2}} \text{ mas usamos só o número}),óú
c_{\mathrm{cr}} = 2\sqrt{m k}\approx 2\cdot78,547=157,095\\ \mathrm{Ns/m}.
Comparando com o valor dado c=0,8\\ \mathrm{Ns/m}, vemos que c\ll c_{\mathrm{cr}}. Portanto o sistema é subamortecido (amortecimento leve): existe oscilação com amortecimento exponencial.

Passo 4

Para montar a solução útil, calculemos a frequência natural não amortecida \omega_{n} e a razão de amortecimento \zeta:
\omega_{n}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{1540}{4}}=\sqrt{385}\approx 19,621\\ \mathrm{rad/s}.
A razão de amortecimento \zeta é
\zeta=\dfrac{c}{2\sqrt{m k}}=\dfrac{0,8}{2\cdot78,547}\approx 0,005095.
Uma forma prática que usaremos é o termo de decaimento \dfrac{c}{2m}:
\dfrac{c}{2m}=\dfrac{0,8}{2\cdot4}=\dfrac{0,8}{8}=0,1\\ \mathrm{s^{-1}}.
Note que \zeta\omega_n = \dfrac{c}{2m}=0,1.

Passo 5

Como o sistema é subamortecido, a frequência amortecida \omega_{d} é
\omega_{d}=\sqrt{\omega_{n}^{2}-\left(\dfrac{c}{2m}\right)^{2}}=\sqrt{19,621^{2}-0,1^{2}}=\sqrt{385-0,01}=\sqrt{384,99}\approx 19,621.
(Para este problema a diferença entre \omega_{n} e \omega_{d} é praticamente desprezível, porque o amortecimento é muito pequeno.)

Passo 6

Escrevemos agora a solução geral para o caso subamortecido:
x(t)=\mathrm{e}^{-\tfrac{c}{2m}t}\bigl(A\cos(\omega_{d}t)+B\sin(\omega_{d}t)\bigr).
Explicando as constantes:
  • A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais;
  • o fator \mathrm{e}^{-(c/(2m))t} descreve o decaimento exponencial da amplitude;
  • \omega_{d} é a frequência angular das oscilações amortecidas (rad/s).
Usando x(0)=0,10\\ \mathrm{m} e x'(0)=0 obtemos:
avaliando em t=0:
x(0)=A=0,10\\ \mathrm{m}.
Para achar B, calcule x'(t). Derivando:
x'(t)=\mathrm{e}^{-\tfrac{c}{2m}t}\Bigl(-\tfrac{c}{2m}(A\cos\omega_{d}t+B\sin\omega_{d}t)-A\omega_{d}\sin\omega_{d}t+B\omega_{d}\cos\omega_{d}t\Bigr).
Em t=0 isso vira
x'(0)=-\tfrac{c}{2m}A + B\omega_{d}.
Como x'(0)=0, isolamos B:
B=\dfrac{\tfrac{c}{2m}A}{\omega_{d}}.

Passo 7

Agora substituímos os valores numéricos:
A=0,10\\ \mathrm{m},\qquad \tfrac{c}{2m}=0,1\\ \mathrm{s^{-1}},\qquad \omega_{d}\approx19,621\\ \mathrm{rad/s}.
Logo
B=\dfrac{0,1\cdot0,10}{19,621}=\dfrac{0,01}{19,621}\approx 0,0005096\\ \mathrm{m}=5,096\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Escrevendo a solução final com os números encontrados:
x(t)=\mathrm{e}^{-0,1\,t}\Bigl(0,10\cos(19,621\,t)+0,0005096\sin(19,621\,t)\Bigr)\\ \text{(metros)}.
Explicação prática: o termo em \cos domina (é o deslocamento inicial), o termo em \sin é muito pequeno porque a velocidade inicial é zero e o amortecimento é leve; a exponencial \mathrm{e}^{-0,1t} faz a amplitude diminuir com constante de tempo 1/0,1=10\\ \mathrm{s}.

Passo 9

Determinando explicitamente as raízes da equação característica m s^{2}+c s+k=0:
s_{1,2}=-\dfrac{c}{2m}\pm \mathrm{i}\,\omega_{d}.
Substituindo:
s_{1,2}=-0,1\pm \mathrm{i}\,19,621\\ \\ (\mathrm{s^{-1}}).
Essas são raízes complexas conjugadas com parte real negativa (decay) e parte imaginária \omega_{d} (oscilação).

Resposta

(a) Subamortecido (amortecimento leve).
(b) x(t)=\mathrm{e}^{-0,1\,t}\Bigl(0,10\cos(19,621\,t)+0,0005096\sin(19,621\,t)\Bigr)\\ \text{(m)}.
(c) s_{1,2}=-0,1\pm \mathrm{i}\,19,621\\ \\ (\mathrm{s^{-1}}).

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