Um corpo de massa igual a 1 kg é solto a partir do repouso e cai verticalmente. A força de arrasto aerodinâmico atuante no corpo é dada por
, onde
.
Determine: a) a velocidade terminal do corpo; b) o tempo gasto até que ele atinja 95% da sua velocidade terminal.
.
Determine: a) a velocidade terminal do corpo; b) o tempo gasto até que ele atinja 95% da sua velocidade terminal.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (tudo que vou usar está aqui):
- Massa do corpo:
. - Força de arrasto:
com . - O corpo é solto do repouso:
. - Vou assumir a aceleração da gravidade padrão:
(se o professor usar outro valor, basta substituir).
Perguntas:
(a) determinar a velocidade terminal do corpo;
(b) determinar o tempo necessário para que o corpo atinjada velocidade terminal.
Passo 2
Esboço físico e escolha de sinais (muito importante para montar a equação):
- Forças atuantes (quando o corpo está caindo para baixo): peso
para baixo e arrasto para cima (o arrasto sempre se opõe ao movimento). - Vou escolher sentido positivo para baixo (assim a aceleração devida à gravidade é positiva).
- Com esse sinal, a força resultante é
Pela segunda lei de Newton essa resultante é igual a
vezes a aceleração vertical:
Aqui
é a velocidade para baixo em função do tempo;
é a derivada temporal (a aceleração).
Passo 3
Forma padrão da equação diferencial e significado das constantes:
- A equação que temos é uma equação diferencial linear de primeira ordem:
- Dividindo por
para simplificar:
Explicando as letras:
-
: velocidade que queremos encontrar; -
tem dimensão de inverso de tempo e determina a rapidez com que a velocidade se aproxima do equilíbrio; -
é o valor forçado (a “entrada” constante) que determina a velocidade de equilíbrio.
Passo 4
Velocidade terminal (equilíbrio estacionário) — como obter e significado:
- Velocidade terminal
é o valor de para o qual a aceleração é zero (ou seja, quando ). - Substituindo
na equação dá:
- Agora o cálculo numérico com os dados:
, , :
Interpretação rápida e motivação didática:
é o equilíbrio entre peso e arrasto; alcança-se quando a força de arrasto iguala o peso.
Passo 5
Resolver a equação para
(passo a passo, método do fator integrante):
- Equação em forma padrão:
- O fator integrante é
. - Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto:
- Integramos em
:
onde
é a constante de integração.
- Isolando
:
- Usando a condição inicial
:
- Logo a solução completa é
- Observação útil (constante de tempo): a quantidade
é chamada de constante de tempo do sistema. Depois de um tempo da ordem de a velocidade já está bem próxima do valor de equilíbrio. No nosso caso:
Passo 6
Tempo para atingir
de
(resolução algébrica e cálculo numérico):
- Queremos
tal que . - Substituindo a fórmula de
:
- Dividindo por
(não nula):
- Tomando logaritmo natural:
- Outra forma equivalente é
, porque . - Agora substituindo valores numéricos:
e . Logo
Arredondando de forma prática para a prova:
.
- Observação interpretativa e encorajadora: atingir
corresponde a cerca de constantes de tempo, porque . Então é natural encontrar um número perto de : , consistente com o valor calculado.