Um corpo de massa igual a 1 kg é solto a partir do repouso e cai verticalmente. A força de arrasto aerodinâmico atuante no corpo é dada por \mathrm{F}_{\mathrm{D}}=\mathrm{k} . \mathrm{V}, onde \mathrm{k}=0,7 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}.
Determine: a) a velocidade terminal do corpo; b) o tempo gasto até que ele atinja 95% da sua velocidade terminal. (3,0).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (tudo que vou usar está aqui):
  • Massa do corpo: m=1\\ \mathrm{kg}.
  • Força de arrasto: \mathrm{F}_{\mathrm{D}}=k\cdot V com k=0,7\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
  • O corpo é solto do repouso: V(0)=0.
  • Vou assumir a aceleração da gravidade padrão: g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} (se o professor usar outro valor, basta substituir).
    Perguntas:
    (a) determinar a velocidade terminal do corpo;
    (b) determinar o tempo necessário para que o corpo atinja 95\% da velocidade terminal.

Passo 2

Esboço físico e escolha de sinais (muito importante para montar a equação):
  • Forças atuantes (quando o corpo está caindo para baixo): peso m g para baixo e arrasto F_D=kV para cima (o arrasto sempre se opõe ao movimento).
  • Vou escolher sentido positivo para baixo (assim a aceleração devida à gravidade é positiva).
  • Com esse sinal, a força resultante é
\text{resultante} = m g - k V.
Pela segunda lei de Newton essa resultante é igual a m vezes a aceleração vertical:
m\frac{dV}{dt}=m g - k V.
Aqui V(t) é a velocidade para baixo em função do tempo; \frac{dV}{dt} é a derivada temporal (a aceleração).

Passo 3

Forma padrão da equação diferencial e significado das constantes:
  • A equação que temos é uma equação diferencial linear de primeira ordem:
m\frac{dV}{dt} + k V = m g.
  • Dividindo por m para simplificar:
\frac{dV}{dt} + \frac{k}{m}V = g.
Explicando as letras:
  • V(t): velocidade que queremos encontrar;
  • \frac{k}{m} tem dimensão de inverso de tempo e determina a rapidez com que a velocidade se aproxima do equilíbrio;
  • g é o valor forçado (a “entrada” constante) que determina a velocidade de equilíbrio.

Passo 4

Velocidade terminal (equilíbrio estacionário) — como obter e significado:
  • Velocidade terminal \,V_{\text{t}} é o valor de V para o qual a aceleração é zero (ou seja, quando \frac{dV}{dt}=0).
  • Substituindo \frac{dV}{dt}=0 na equação m\frac{dV}{dt}=m g - k V dá:
0 = m g - k V_{\text{t}} \quad\Rightarrow\quad V_{\text{t}}=\frac{m g}{k}.
  • Agora o cálculo numérico com os dados: m=1, g=9,8, k=0,7:
V_{\text{t}}=\frac{1\cdot 9,8}{0,7}= \frac{9,8}{0,7}=14\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida e motivação didática: V_{\text{t}} é o equilíbrio entre peso e arrasto; alcança-se quando a força de arrasto iguala o peso.

Passo 5

Resolver a equação para V(t) (passo a passo, método do fator integrante):
  • Equação em forma padrão:
\frac{dV}{dt} + \frac{k}{m}V = g.
  • O fator integrante é \mu(t)=e^{\int (k/m)\,dt}=e^{(k/m)\,t}.
  • Multiplicando a equação por \mu(t):
e^{(k/m)t}\frac{dV}{dt} + \frac{k}{m}e^{(k/m)t}V = g\,e^{(k/m)t}.
O lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\!\left(e^{(k/m)t}V\right)=g\,e^{(k/m)t}.
  • Integramos em t:
e^{(k/m)t}V(t)=\int g\,e^{(k/m)t}\,dt = g\cdot \frac{m}{k}\,e^{(k/m)t} + C,
onde C é a constante de integração.
  • Isolando V(t):
V(t)=\frac{g m}{k} + C e^{-(k/m)t}.
  • Usando a condição inicial V(0)=0:
0= \frac{g m}{k} + C \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{g m}{k}.
  • Logo a solução completa é
V(t)=\frac{g m}{k}\left(1 - e^{-(k/m)t}\right).
  • Observação útil (constante de tempo): a quantidade \tau=\dfrac{m}{k} é chamada de constante de tempo do sistema. Depois de um tempo da ordem de \tau a velocidade já está bem próxima do valor de equilíbrio. No nosso caso:
\tau=\frac{m}{k}=\frac{1}{0,7}\approx 1,428571\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Tempo para atingir 95\% de V_{\text{t}} (resolução algébrica e cálculo numérico):
  • Queremos t tal que V(t)=0,95\,V_{\text{t}}.
  • Substituindo a fórmula de V(t):
0,95\,V_{\text{t}}=V_{\text{t}}\left(1 - e^{-(k/m)t}\right).
  • Dividindo por V_{\text{t}} (não nula):
0,95=1 - e^{-(k/m)t}\quad\Rightarrow\quad e^{-(k/m)t}=0,05.
  • Tomando logaritmo natural:
-(k/m)t=\ln(0,05)\quad\Rightarrow\quad t=-\frac{m}{k}\ln(0,05).
  • Outra forma equivalente é t=\dfrac{m}{k}\ln(20), porque \ln(0,05)=-\ln(20).
  • Agora substituindo valores numéricos: \dfrac{m}{k}=\dfrac{1}{0,7}\approx 1,428571 e \ln(20)\approx 2,995732. Logo
t \approx 1,428571\cdot 2,995732 \approx 4,279617\\ \mathrm{s}.
Arredondando de forma prática para a prova: t\approx 4,28\\ \mathrm{s}.
  • Observação interpretativa e encorajadora: atingir 95\% corresponde a cerca de 3 constantes de tempo, porque 1-e^{-3}\approx 0,95. Então é natural encontrar um número perto de 3\tau: 3\tau\approx 3\cdot1,4286\approx 4,2858\\ \mathrm{s}, consistente com o valor calculado.

Resposta

V_{\text{t}}=14\\ \mathrm{m/s}
t_{0,95}\approx 4,28\\ \mathrm{s}

Exercícios relacionados