2^{\mathbf{a}} QUESTÃO: Considere um trocador de calor tubo duplo feito de aço inoxidável ( \mathrm{k}= 15,1 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ), cujos tubos possuem um diâmetro interno \mathrm{Di}=1,7 \mathrm{~cm} e diâmetro externo \mathrm{Do}=2,0 \mathrm{~cm}. Sabe-se que os coeficientes de transferência de calor são hi =750 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} na superfície interna e ho =1250 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} na externa. O fluido quente entra a 110^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{e} sai a 70^{\circ} \mathrm{C}, enquanto o fluido frio entra a 30^{\circ} \mathrm{C} e sai a 60^{\circ} \mathrm{C}, operando em contracorrente. Admitindo os fatores de incrustação Rf,i =0,0003 \mathrm{~m}^{2} . \mathrm{K} / \mathrm{W} e Rf,o = 0,0001 \mathrm{~m}^{2} . \mathrm{K} / \mathrm{W}, determine: (a) a resistência térmica total do trocador de calor por unidade de comprimento ( \mathrm{L}=1 \mathrm{~m} ); (b) os coeficientes globais de transferência de calor Ui e Uo; (c) a média logarítmica das diferenças de temperatura ao longo do equipamento (MLDT). (Pontuação: até \mathbf{2 , 0} )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (todos os números foram copiados do enunciado):
Dados:
  • Material: aço inoxidável com condutividade térmica k=15{,}1\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Diâmetros: diâmetro interno \mathrm{Di}=1{,}7\\ \mathrm{cm}=0{,}017\\ \mathrm{m}; diâmetro externo \mathrm{Do}=2{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento considerado: L=1\\ \mathrm{m}.
  • Coeficientes convectivos: h_i=750\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K} (superfície interna), h_o=1250\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K} (superfície externa).
  • Fatores de incrustação (fouling): R_{f,i}=0{,}0003\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W} (interno), R_{f,o}=0{,}0001\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W} (externo).
  • Temperaturas (contracorrente): fluido quente entra a 110^\circ\mathrm{C} e sai a 70^\circ\mathrm{C}; fluido frio entra a 30^\circ\mathrm{C} e sai a 60^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede:
(a) a resistência térmica total do trocador por unidade de comprimento (ou seja, para L=1\\ \mathrm{m});
(b) os coeficientes globais de transferência de calor U_i (base inner area) e U_o (base outer area);
(c) a média logarítmica das diferenças de temperatura ao longo do equipamento (MLDT, também chamada LMTD) para o arranjo em contracorrente.

Passo 2

Primeiro vamos calcular as áreas de troca térmica (por unidade de comprimento L=1\\ \mathrm{m}), pois aparecem nas resistências convectivas e na conversão dos fatores de incrustação. Fórmulas e explicação:
  • A área lateral de um cilindro de diâmetro D e comprimento L é A=\pi D L.
    Aqui L=1\\ \mathrm{m}, então:
A_i = \pi\,\mathrm{Di}\,L=\pi\cdot0{,}017\cdot1, \qquad A_o = \pi\,\mathrm{Do}\,L=\pi\cdot0{,}02\cdot1.
Cálculo numérico:
A_i \approx 0{,}05341\\ \mathrm{m}^2,\qquad A_o \approx 0{,}06283\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Explicar as resistências térmicas individuais e como somá‑las em série. Conceitos usados (com explicação simples):
  • Resistência por convecção numa superfície de área A: \displaystyle R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{hA}. Aqui h é o coeficiente convectivo (explica a facilidade da troca fluido‑superfície) e A é a área de contacto.
  • Resistência por incrustação (fouling) é normalmente dada como R_f em \mathrm{m}^2\!\cdot\mathrm{K}/\mathrm{W}. Isso é um valor “por unidade de área”. Para incluir no circuito térmico como resistência total (K/W) usa‑se \displaystyle R_{f,\text{total}}=\frac{R_f}{A_{\text{refer}}}, porque a queda de temperatura sobre a incrustação é \Delta T = q'' R_f com q''=Q/A, e portanto \Delta T = Q\,(R_f/A).
  • Resistência de condução através de uma parede cilíndrica (parede do tubo): para um cilindro de diâmetros interno e externo \mathrm{Di},\mathrm{Do} e condutividade k,
R_{\mathrm{wall}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{\mathrm{Do}}{\mathrm{Di}}\right)}{2\pi k L}.
Vamos calcular cada resistência (todas em K/W para L=1\\ \mathrm{m}):
  1. Resistência convectiva interna:
R_{\mathrm{conv},i}=\frac{1}{h_i A_i}=\frac{1}{750\cdot 0{,}05341}\approx 0{,}02496\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  1. Resistência de incrustação interna (total, usando área interna):
R_{f,i,\text{total}}=\frac{R_{f,i}}{A_i}=\frac{0{,}0003}{0{,}05341}\approx 0{,}005617\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  1. Resistência de condução através da parede:
R_{\mathrm{wall}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}02}{0{,}017}\right)}{2\pi\cdot 15{,}1\cdot 1}.
Calculemos:
\ln\!\left(\frac{0{,}02}{0{,}017}\right)=\ln(1{,}1764706)\approx 0{,}162,
logo
R_{\mathrm{wall}}\approx\frac{0{,}162}{2\pi\cdot 15{,}1}\approx 0{,}001708\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  1. Resistência de incrustação externa (usando área externa):
R_{f,o,\text{total}}=\frac{R_{f,o}}{A_o}=\frac{0{,}0001}{0{,}06283}\approx 0{,}001592\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  1. Resistência convectiva externa:
R_{\mathrm{conv},o}=\frac{1}{h_o A_o}=\frac{1}{1250\cdot 0{,}06283}\approx 0{,}01273\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.

Passo 4

Somando todas as resistências em série entre o fluido interno e o fluido externo obtemos a resistência térmica total (para L=1\\ \mathrm{m}):
R_{\mathrm{total}}=R_{\mathrm{conv},i}+R_{f,i,\text{total}}+R_{\mathrm{wall}}+R_{f,o,\text{total}}+R_{\mathrm{conv},o}.
Substituindo os valores numéricos:
R_{\mathrm{total}}\approx 0{,}02496+0{,}005617+0{,}001708+0{,}001592+0{,}01273 \approx 0{,}04661\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
Este é o valor pedido em (a): resistência térmica total do trocador para L=1\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora vamos obter os coeficientes globais U_i e U_o. Definição e relação com R_{\mathrm{total}}:
  • A definição de coeficiente global baseado na área interna A_i é Q=U_i A_i \,\Delta T_{\text{m}}. Como a mesma queda de temperatura entre fluidos está relacionada por Q=\dfrac{\Delta T}{R_{\mathrm{total}}}, temos
U_i=\frac{1}{R_{\mathrm{total}}\,A_i}.
  • De forma análoga, baseado em A_o:
U_o=\frac{1}{R_{\mathrm{total}}\,A_o}.
Cálculo numérico:
U_i=\frac{1}{0{,}04661\cdot 0{,}05341}\approx \frac{1}{0{,}002491}\approx 401{,}6\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
U_o=\frac{1}{0{,}04661\cdot 0{,}06283}\approx \frac{1}{0{,}002928}\approx 341{,}5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
Observação rápida (útil para prova): U_o e U_i relacionam‑se por U_o = U_i\cdot \dfrac{A_i}{A_o}, que aqui dá consistência numérica.

Passo 6

Calcular a MLDT (LMTD) para contracorrente. Explicação da fórmula:
  • Para um trocador em contracorrente, a média logarítmica das diferenças de temperatura é
\mathrm{LMTD}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)},
onde \Delta T_1 e \Delta T_2 são as diferenças de temperatura entre os fluidos nos dois extremos do trocador.
Identificando as diferenças (seguindo o sentido das extremidades):
  • Num trocador em contracorrente, o extremo 1 pode ser o contato entre o fluido quente na entrada e o fluido frio na saída: \Delta T_1 = T_{h,\text{in}} - T_{c,\text{out}}.
  • O outro extremo: \Delta T_2 = T_{h,\text{out}} - T_{c,\text{in}}.
Com os dados:
\Delta T_1 = 110^\circ\mathrm{C}-60^\circ\mathrm{C}=50^\circ\mathrm{C}, \qquad \Delta T_2 = 70^\circ\mathrm{C}-30^\circ\mathrm{C}=40^\circ\mathrm{C}.
Aplicando a fórmula:
\mathrm{LMTD}=\frac{50-40}{\ln\!\left(\dfrac{50}{40}\right)}=\frac{10}{\ln(1{,}25)}\approx\frac{10}{0{,}2231436}\approx 44{,}72^\circ\mathrm{C}.
Observação: diferenças em graus Celsius e em kelvin são equivalentes quando tratamos de variações (°C ≡ K para diferenças).

Resposta

(a) R_{\mathrm{total}}\approx 0{,}04661\\ \mathrm{K}/\mathrm{W} (para L=1\\ \mathrm{m}).
(b) U_i\approx 401{,}6\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K} \quad e \quad U_o\approx 341{,}5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
(c) \mathrm{MLDT}=\mathrm{LMTD}\approx 44{,}72^\circ\mathrm{C}.

Exercícios relacionados