Um corpo, em MHS, desloca-se entre as posições -50 cm e+50 cm (amplitude) de sua trajetória. Neste percurso, o tempo é de 15 segundos para ir de uma extremidade a outra extremidade. Considerando que, no instante inicial, o móvel estava na posição de +30 cm , com sentido do movimento para valores positivos de x , determine:
a) A frequência angular.
b) A fase inicial ( varphi0 ) do MHS.

Passo 1

O enunciado descreve um MHS com amplitude A=50:cm. O tempo para ir de uma extremidade (digamos -A) até a outra ( +A) é de 15:s. No instante inicial ( t=0), a posição é x(0)=+30:cm e o móvel está se deslocando para valores crescentes de x (ou seja, v(0)>0). Vamos usar a forma
x(t)=Acosl(omega t+varphi0r)
para determinar a frequência angular omega e a fase inicial varphi0.

Passo 2

O intervalo de tempo entre extremidades opostas num MHS corresponde a metade do período, ou seja
T2=15:s Longrightarrow T=30:s
A frequência angular é dada por
omega=2piT=2pi30=pi15:rad/s

Passo 3

No instante t=0, temos
x(0)=Acos(varphi0)=30:cm,
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cos(varphi0)=3050=0,6 Longrightarrow varphi0=pmarccos(0,6)

Passo 4

Para escolher o sinal de varphi0, usamos a condição v(0)>0. Como
v(t)=-A,omegasinl(omega t+varphi0r),
temos
v(0)=-A,omegasin(varphi0)>0 Longrightarrow sin(varphi0)<0
Entre varphi0=arccos(0,6)approx0,927 rad (que tem sin>0) e varphi0=-0,927 rad (que tem sin<0), a escolha correta é
varphi0=-arccos(0,6)approx -0,927:rad

Resposta

a) omega=pi15:rad/s
b) varphi0=-0,927:rad

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