Um corpo move-se ao longo do eixo
, segundo a lei
, onde
é dado em metros e
em segundos. Para
:
(a) Determine
e
como funções do tempo.
(b) Represente em gráficos
e
como funções do tempo.
(c) Determine os intervalos de tempo durante os quais a partícula se move no sentido positivo de
;
(d) Determine os intervalos de tempo durante os quais a partícula se move no sentido negativo de
;
(e) Determine os intervalos de tempo durante os quais o movimento é acelerado;
(f) Determine os intervalos de tempo durante os quais o movimento é retardado;
(a) Determine
(b) Represente em gráficos
(c) Determine os intervalos de tempo durante os quais a partícula se move no sentido positivo de
(d) Determine os intervalos de tempo durante os quais a partícula se move no sentido negativo de
(e) Determine os intervalos de tempo durante os quais o movimento é acelerado;
(f) Determine os intervalos de tempo durante os quais o movimento é retardado;
Passo 1
O enunciado dá a lei do movimento unidimensional
com
em metros e
em segundos, e pede seis coisas:
(a) determinar os vetores posição, velocidade e aceleração como funções do tempo;
(b) representar (desenhar/interpretar) os gráficos de ,
e
;
(c) encontrar os intervalos de tempo em que a partícula se move no sentido positivo de (ou seja, onde
);
(d) encontrar os intervalos em que se move no sentido negativo de (onde
);
(e) determinar os intervalos em que o movimento é acelerado (velocidade e aceleração têm o mesmo sinal);
(f) determinar os intervalos em que o movimento é retardado (velocidade e aceleração têm sinais opostos).
(a) determinar os vetores posição, velocidade e aceleração como funções do tempo;
(b) representar (desenhar/interpretar) os gráficos de
(c) encontrar os intervalos de tempo em que a partícula se move no sentido positivo de
(d) encontrar os intervalos em que se move no sentido negativo de
(e) determinar os intervalos em que o movimento é acelerado (velocidade e aceleração têm o mesmo sinal);
(f) determinar os intervalos em que o movimento é retardado (velocidade e aceleração têm sinais opostos).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Nada mais foi dado (por exemplo valores numéricos além da forma analítica). Nas partes (c)–(f) teremos que trabalhar com os sinais de
e
: as equações
e
são transcendentes e geram séries de raízes; vou mostrar a forma das equações para essas raízes, explicar como encontrá‑las e dar os primeiros valores aproximados úteis para esboçar os gráficos e responder às perguntas.
Passo 2
Vamos primeiro escrever o vetor posição e então encontrar velocidade e aceleração — passo a passo, explicando as regras de derivação que usamos.
- Vetor posição: como o movimento é no eixo
, a posição vetorial é a componente em multiplicada pelo versor . Portanto
- Para obter a velocidade usamos a definição: velocidade é a derivada temporal da posição. Vamos aplicar as regras de diferenciação que precisamos:
- Regra do produto: se
e são funções, . - Regra da cadeia: se
, podemos ver com ; assim .
Aplicando a regra do produto a
:
Portanto, escrevemos de forma organizada:
- Aceleração é a derivada da velocidade. Vamos derivar
aplicando de novo produto e cadeia (expliquei acima). Primeiro derivada de é . Para usamos produto: derivada é . Juntando:
Fatorando um
:
Até aqui temos as expressões pedidas em (a).
Passo 3
Pequena aula útil: interpretação das expressões e comportamento inicial.
- No instante inicial
:
Então a partícula parte do zero para o sentido positivo com velocidade inicial unitária e aceleração inicial zero.
- Para
pequeno positivo, usar expansão em série rápida ajuda a entender o sinal: , . Assim
ou seja, inicialmente a velocidade é positiva e a aceleração negativa — o movimento começa no sentido positivo, mas está sendo retardado (a velocidade diminui).
Passo 4
Como esboçar os gráficos de
(parte b) — guia prático para a prova:
- Zeros e extremos de
: extremos ocorrem quando . A equação leva a
Isto é uma equação transcendental: tem infinitas soluções
crescentes. Para esboçar, localize as primeiras raízes numericamente (método gráfico ou iteração). As primeiras raízes positivas são aproximadamente
Nestes
a posição
tem extremos (máximo, mínimo, alternando).
- Zeros de
: resolver dá
Também transcendental, com raízes
. As primeiras são aproximadamente
- Sinais e comportamento:
-
alterna de sinal entre as raízes : como , temos em , em , etc — alternância infinita. -
muda de sinal em cada ; para pequeno (como vimos), depois alterna.
- Esboço prático: para desenhar à mão sem calculadora
- Trace o eixo
. - Marque
- Para
desenhe uma curva que começa em , cruza o eixo em , fica negativa até , cruza de novo, e assim por diante com oscilações cujo envelope cresce aproximadamente linearmente com por causa do termo . - Para
desenhe começando em , imediatamente negativa, cruza em , positiva até , etc. - Para
marque , encontre (um máximo local), (um mínimo local) e conecte com ondulações que crescem em amplitude (produto por ).
Exemplo de valores de
em pontos-chave (útil para traçar
):
Com isso você pode produzir esboços qualitativos corretos:
oscila, com amplitude aumentando com
;
e
oscilam e mudam sinal muitas vezes.
Passo 5
Intervalos em que a partícula se move no sentido positivo e negativo de
(partes c e d).
Regra clara: a partícula move‑se no sentido positivo de
quando
e no sentido negativo quando
.
- Zeros de
são soluções de
Denote as
as as soluções crescentes dessa equação. Porque
e
muda de sinal a cada raiz simples, temos o padrão alternado:
-
em
-
em
- Para dar valores úteis na prova, as primeiras raízes numéricas (aproximações) são:
Portanto, explicitamente, a partícula se move no sentido positivo de
em, por exemplo,
e no sentido negativo em
Passo 6
Intervalos em que o movimento é acelerado ou retardado (partes e e f).
Regra física e simples: o movimento é acelerado (velocidade aumentando em valor absoluto, isto é “ficando mais rápido”) quando
e
têm o mesmo sinal; é retardado quando têm sinais opostos.
- Zeros de
vêm de
ou, equivalentemente,
Denotemos as soluções crescentes por
. Para
pequeno temos
(já mostrado). As primeiras raízes aproximadas são
- Agora cruzamos os sinais de
e para obter os intervalos de aceleração ( ) e de retardação ( ). Usando as raízes aproximadas que listamos:
- Para
temos e (pois é negativa até passar por ), logo o movimento é retardado em . - Entre
e (isto é, entre e ) temos e , então : movimento acelerado nesse intervalo. - Entre
e (isto é, entre e ) temos e : movimento retardado. - Entre
e (isto é, entre e ) temos e : movimento acelerado. - Entre
e (isto é, entre e ) temos e : movimento retardado. - E assim por diante: os intervalos de aceleração e de retardação alternam, determinados pelas interseções das sequências
e .
Em resumo: há um padrão alternado infinito. Para a prova é suficiente saber:
- como obter as equações que definem as fronteiras (
para e para ), - que
, e para pequeno , - e como combinar sinais de
e para classificar acelerado/retardado;
além disso, as primeiras intersecções numéricas dadas acima permitem desenhar os gráficos e listar os primeiros intervalos explicitamente.
Resposta
(a)
(b) Gráficos qualitativos:
oscila com amplitude que cresce aproximadamente como
;
e
oscilam e mudam de sinal infinitas vezes. Zeros principais para esboço:
. Use esses pontos para traçar cruzamentos e extremos (ver passo 4 para procedimento).
(c) Movimento no sentido positivo de
(
):
com primeiras aproximações
.
(d) Movimento no sentido negativo de
(
):
com primeira aproximação
.
(e) Movimento acelerado (
): intervalos onde
e
têm mesmo sinal. Usando as primeiras raízes aproximadas, os primeiros intervalos são
e
, e assim por diante em padrão alternado.
(f) Movimento retardado (
): intervalos onde
e
têm sinais opostos. Usando as primeiras raízes, os primeiros intervalos são
,
,
, e assim por diante, alternando repetidamente.
Observação prática: as equações das fronteiras são transcendentes (
para
e
para
); em prova você deve escrever essas equações, justificar o padrão de sinais e fornecer as primeiras raízes numéricas (como fiz) para esboçar e listar os primeiros intervalos. Boa sorte — você está no caminho certo!