Um corpo move-se ao longo do eixo X, segundo a lei x(t)=t \cos (2 t), onde x é dado em metros e t em segundos. Para t \geq 0 :
(a) Determine \vec{x}, \vec{v} e \vec{a} como funções do tempo.
(b) Represente em gráficos x, v e a como funções do tempo.
(c) Determine os intervalos de tempo durante os quais a partícula se move no sentido positivo de x;
(d) Determine os intervalos de tempo durante os quais a partícula se move no sentido negativo de x;
(e) Determine os intervalos de tempo durante os quais o movimento é acelerado;
(f) Determine os intervalos de tempo durante os quais o movimento é retardado;

Passo 1

O enunciado dá a lei do movimento unidimensional
x(t)=t\cos(2t),\qquad t\ge 0,
com x em metros e t em segundos, e pede seis coisas:
(a) determinar os vetores posição, velocidade e aceleração como funções do tempo;
(b) representar (desenhar/interpretar) os gráficos de x(t), v(t) e a(t);
(c) encontrar os intervalos de tempo em que a partícula se move no sentido positivo de x (ou seja, onde v(t)>0);
(d) encontrar os intervalos em que se move no sentido negativo de x (onde v(t)<0);
(e) determinar os intervalos em que o movimento é acelerado (velocidade e aceleração têm o mesmo sinal);
(f) determinar os intervalos em que o movimento é retardado (velocidade e aceleração têm sinais opostos).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
x(t)=t\cos(2t),\quad t\ge 0.
Nada mais foi dado (por exemplo valores numéricos além da forma analítica). Nas partes (c)–(f) teremos que trabalhar com os sinais de v(t) e a(t): as equações v(t)=0 e a(t)=0 são transcendentes e geram séries de raízes; vou mostrar a forma das equações para essas raízes, explicar como encontrá‑las e dar os primeiros valores aproximados úteis para esboçar os gráficos e responder às perguntas.

Passo 2

Vamos primeiro escrever o vetor posição e então encontrar velocidade e aceleração — passo a passo, explicando as regras de derivação que usamos.
  1. Vetor posição: como o movimento é no eixo X, a posição vetorial é a componente em x multiplicada pelo versor \hat{\imath}. Portanto
\vec{x}(t)=x(t)\,\hat{\imath} = \bigl(t\cos(2t)\bigr)\,\hat{\imath}.
  1. Para obter a velocidade usamos a definição: velocidade é a derivada temporal da posição. Vamos aplicar as regras de diferenciação que precisamos:
  • Regra do produto: se u(t) e v(t) são funções, \frac{d}{dt}[u(t)v(t)]=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
  • Regra da cadeia: se g(t)=\cos(2t), podemos ver g(t)=\cos(u) com u=2t; assim g'(t) = -\sin(u)\cdot u' = -\sin(2t)\cdot 2.
Aplicando a regra do produto a x(t)=t\cdot\cos(2t):
v(t)=\frac{dx}{dt}=1\cdot\cos(2t)+t\cdot\frac{d}{dt}\bigl(\cos(2t)\bigr) =\cos(2t)+t\cdot\bigl(-2\sin(2t)\bigr).
Portanto, escrevemos de forma organizada:
\vec{v}(t)=\bigl(\cos(2t)-2t\sin(2t)\bigr)\,\hat{\imath}.
  1. Aceleração é a derivada da velocidade. Vamos derivar v(t)=\cos(2t)-2t\sin(2t) aplicando de novo produto e cadeia (expliquei acima). Primeiro derivada de \cos(2t) é -2\sin(2t). Para -2t\sin(2t) usamos produto: derivada é -2\bigl(\sin(2t)+t\cdot 2\cos(2t)\bigr). Juntando:
a(t)=\frac{dv}{dt}=-2\sin(2t)-2\sin(2t)-4t\cos(2t)=-4\sin(2t)-4t\cos(2t).
Fatorando um -4:
\vec{a}(t)=-4\bigl(\sin(2t)+t\cos(2t)\bigr)\,\hat{\imath}.
Até aqui temos as expressões pedidas em (a).

Passo 3

Pequena aula útil: interpretação das expressões e comportamento inicial.
  • No instante inicial t=0:
x(0)=0\cdot\cos 0 = 0,\qquad v(0)=\cos 0 - 0 = 1,\qquad a(0)=-4(\sin 0 + 0)=0.
Então a partícula parte do zero para o sentido positivo com velocidade inicial unitária e aceleração inicial zero.
  • Para t pequeno positivo, usar expansão em série rápida ajuda a entender o sinal: \sin(2t)\approx 2t, \cos(2t)\approx 1. Assim
v(t)\approx 1 -2t\cdot(2t)=1-4t^2>0\quad\text{para }t\text{ pequeno},
a(t)\approx -4(2t+t\cdot 1)=-12t<0\quad\text{para }t>0\text{ pequeno},
ou seja, inicialmente a velocidade é positiva e a aceleração negativa — o movimento começa no sentido positivo, mas está sendo retardado (a velocidade diminui).

Passo 4

Como esboçar os gráficos de x(t),v(t),a(t) (parte b) — guia prático para a prova:
  1. Zeros e extremos de x(t): extremos ocorrem quando v(t)=0. A equação v(t)=0 leva a
\cos(2t)-2t\sin(2t)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \tan(2t)=\frac{1}{2t}.
Isto é uma equação transcendental: tem infinitas soluções \{t_{v,n}\}_{n=1}^\infty crescentes. Para esboçar, localize as primeiras raízes numericamente (método gráfico ou iteração). As primeiras raízes positivas são aproximadamente
t_{v,1}\approx 0{,}430,\qquad t_{v,2}\approx 1{,}715,\qquad t_{v,3}\approx 3{,}210,\\ \ldots
Nestes t_{v,n} a posição x(t) tem extremos (máximo, mínimo, alternando).
  1. Zeros de a(t): resolver a(t)=0
\sin(2t)+t\cos(2t)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \tan(2t)=-t.
Também transcendental, com raízes \{t_{a,n}\}_{n=1}^\infty. As primeiras são aproximadamente
t_{a,1}\approx 1{,}165,\qquad t_{a,2}\approx 2{,}570,\quad t_{a,3}\approx 4{,}330,\\ \ldots
  1. Sinais e comportamento:
  • v(t) alterna de sinal entre as raízes t_{v,n}: como v(0)=1>0, temos v>0 em (0,t_{v,1}), v<0 em (t_{v,1},t_{v,2}), etc — alternância infinita.
  • a(t) muda de sinal em cada t_{a,n}; para t pequeno a(t)<0 (como vimos), depois alterna.
  1. Esboço prático: para desenhar à mão sem calculadora
  • Trace o eixo t\ge0.
  • Marque t_{v,1}\approx0{,}43,\\ t_{a,1}\approx1{,}165,\\ t_{v,2}\approx1{,}715,\\ t_{a,2}\approx2{,}57,\\ t_{v,3}\approx3{,}21,\ldots
  • Para v(t) desenhe uma curva que começa em v(0)=1, cruza o eixo em t_{v,1}, fica negativa até t_{v,2}, cruza de novo, e assim por diante com oscilações cujo envelope cresce aproximadamente linearmente com t por causa do termo -2t\sin(2t).
  • Para a(t) desenhe começando em 0, imediatamente negativa, cruza em t_{a,1}, positiva até t_{a,2}, etc.
  • Para x(t) marque x(0)=0, encontre x(t_{v,1}) (um máximo local), x(t_{v,2}) (um mínimo local) e conecte com ondulações que crescem em amplitude (produto por t).
Exemplo de valores de x em pontos-chave (útil para traçar x(t)):
x(t_{v,1})\approx 0{,}430\cdot\cos(0{,}860)\approx 0{,}28\\ \text{m},
x(t_{v,2})\approx 1{,}715\cdot\cos(3{,}430)\approx -1{,}64\\ \text{m}.
Com isso você pode produzir esboços qualitativos corretos: x(t) oscila, com amplitude aumentando com t; v(t) e a(t) oscilam e mudam sinal muitas vezes.

Passo 5

Intervalos em que a partícula se move no sentido positivo e negativo de x (partes c e d).
Regra clara: a partícula move‑se no sentido positivo de x quando v(t)>0 e no sentido negativo quando v(t)<0.
  1. Zeros de v(t) são soluções de
\cos(2t)-2t\sin(2t)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \tan(2t)=\frac{1}{2t}.
Denote as \{t_{v,n}\}_{n\ge1} as as soluções crescentes dessa equação. Porque v(0)=1>0 e v(t) muda de sinal a cada raiz simples, temos o padrão alternado:
  • v(t)>0 em
(0,t_{v,1}),\\ (t_{v,2},t_{v,3}),\\ (t_{v,4},t_{v,5}),\\ \ldots
  • v(t)<0 em
(t_{v,1},t_{v,2}),\\ (t_{v,3},t_{v,4}),\\ \ldots
  1. Para dar valores úteis na prova, as primeiras raízes numéricas (aproximações) são:
t_{v,1}\approx 0{,}430,\qquad t_{v,2}\approx 1{,}715,\qquad t_{v,3}\approx 3{,}210,\\ \ldots
Portanto, explicitamente, a partícula se move no sentido positivo de x em, por exemplo,
(0,0{,}430),\quad(1{,}715,3{,}210),\quad( \text{próximos intervalos alternados} ),\ldotsó
e no sentido negativo em
(0{,}430,1{,}715),\quad(3{,}210,\text{próximo }t_{v,4}),\ldotsó

Passo 6

Intervalos em que o movimento é acelerado ou retardado (partes e e f).
Regra física e simples: o movimento é acelerado (velocidade aumentando em valor absoluto, isto é “ficando mais rápido”) quando v(t) e a(t) têm o mesmo sinal; é retardado quando têm sinais opostos.
  1. Zeros de a(t) vêm de
-4\bigl(\sin(2t)+t\cos(2t)\bigr)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin(2t)+t\cos(2t)=0
ou, equivalentemente,
\tan(2t)=-t.
Denotemos as soluções crescentes por \{t_{a,n}\}_{n\ge1}. Para t pequeno temos a(t)<0 (já mostrado). As primeiras raízes aproximadas são
t_{a,1}\approx 1{,}165,\qquad t_{a,2}\approx 2{,}570,\qquad t_{a,3}\approx 4{,}330,\\ \ldots
  1. Agora cruzamos os sinais de v e a para obter os intervalos de aceleração ( v\cdot a>0 ) e de retardação ( v\cdot a<0 ). Usando as raízes aproximadas que listamos:
  • Para 0<t<t_{v,1} temos v>0 e a<0 (pois a é negativa até passar por t_{a,1}), logo o movimento é retardado em (0,t_{v,1})=(0,0{,}430).
  • Entre t_{v,1} e t_{a,1} (isto é, entre 0{,}430 e 1{,}165) temos v<0 e a<0, então v\cdot a>0: movimento acelerado nesse intervalo.
  • Entre t_{a,1} e t_{v,2} (isto é, entre 1{,}165 e 1{,}715) temos v<0 e a>0: movimento retardado.
  • Entre t_{v,2} e t_{a,2} (isto é, entre 1{,}715 e 2{,}570) temos v>0 e a>0: movimento acelerado.
  • Entre t_{a,2} e t_{v,3} (isto é, entre 2{,}570 e 3{,}210) temos v>0 e a<0: movimento retardado.
  • E assim por diante: os intervalos de aceleração e de retardação alternam, determinados pelas interseções das sequências \{t_{v,n}\} e \{t_{a,n}\}.
Em resumo: há um padrão alternado infinito. Para a prova é suficiente saber:
  • como obter as equações que definem as fronteiras ( \tan(2t)=1/(2t) para v=0 e \tan(2t)=-t para a=0),
  • que v(0)>0, a(0)=0 e para t pequeno a(t)<0,
  • e como combinar sinais de v e a para classificar acelerado/retardado;
    além disso, as primeiras intersecções numéricas dadas acima permitem desenhar os gráficos e listar os primeiros intervalos explicitamente.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{x}(t)=\bigl(t\cos(2t)\bigr)\,\hat{\imath},\qquad \vec{v}(t)=\bigl(\cos(2t)-2t\sin(2t)\bigr)\,\hat{\imath},\qquad \vec{a}(t)=-4\bigl(\sin(2t)+t\cos(2t)\bigr)\,\hat{\imath}.
(b) Gráficos qualitativos: x(t)=t\cos(2t) oscila com amplitude que cresce aproximadamente como t; v(t)=\cos(2t)-2t\sin(2t) e a(t)=-4(\sin(2t)+t\cos(2t)) oscilam e mudam de sinal infinitas vezes. Zeros principais para esboço: t_{v,1}\approx0{,}430,\\ t_{a,1}\approx1{,}165,\\ t_{v,2}\approx1{,}715,\\ t_{a,2}\approx2{,}570,\\ t_{v,3}\approx3{,}210. Use esses pontos para traçar cruzamentos e extremos (ver passo 4 para procedimento).
(c) Movimento no sentido positivo de x ( v(t)>0): (0,t_{v,1}),\\ (t_{v,2},t_{v,3}),\\ (t_{v,4},t_{v,5}),\ldots com primeiras aproximações (0,0{,}430),\\ (1{,}715,3{,}210),\ldots.
(d) Movimento no sentido negativo de x ( v(t)<0): (t_{v,1},t_{v,2}),\\ (t_{v,3},t_{v,4}),\ldots com primeira aproximação (0{,}430,1{,}715),\ldots.
(e) Movimento acelerado ( v\cdot a>0): intervalos onde v e a têm mesmo sinal. Usando as primeiras raízes aproximadas, os primeiros intervalos são (t_{v,1},t_{a,1})\approx(0{,}430,1{,}165) e (t_{v,2},t_{a,2})\approx(1{,}715,2{,}570), e assim por diante em padrão alternado.
(f) Movimento retardado ( v\cdot a<0): intervalos onde v e a têm sinais opostos. Usando as primeiras raízes, os primeiros intervalos são (0,t_{v,1})\approx(0,0{,}430), (t_{a,1},t_{v,2})\approx(1{,}165,1{,}715), (t_{a,2},t_{v,3})\approx(2{,}570,3{,}210), e assim por diante, alternando repetidamente.
Observação prática: as equações das fronteiras são transcendentes ( \tan(2t)=1/(2t) para v=0 e \tan(2t)=-t para a=0); em prova você deve escrever essas equações, justificar o padrão de sinais e fornecer as primeiras raízes numéricas (como fiz) para esboçar e listar os primeiros intervalos. Boa sorte — você está no caminho certo!

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