Um navio de guerra navega para leste a
. Um submarino a 5 km de distância dispara um torpedo que tem a velocidade escalar de
. Se a posição do navio, visto do submarino, está a
nordeste. Determine:
(a) Em qual direção o torpedo deve ser lançado para acertar o navio;
(b) Qual o tempo decorrido até o torpedo alcançar o navio?
(a) Em qual direção o torpedo deve ser lançado para acertar o navio;
(b) Qual o tempo decorrido até o torpedo alcançar o navio?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Dados fornecidos:
- A velocidade do navio é
para leste. - O submarino está em um ponto fixo e, visto dele, o navio está a
de distância no rumo nordeste (interpreto como ao norte do leste). - A velocidade escalar do torpedo é
.
- A velocidade do navio é
- Perguntas:
(a) Em qual direção (ângulo medido a partir do leste, positivo para norte) o torpedo deve ser lançado para acertar o navio?
(b) Qual o tempo decorrido até o torpedo alcançar o navio?
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas simples: eixo
para leste e eixo
para norte. Colocamos o submarino na origem
. Assim a posição inicial do navio (vetor
) é
A velocidade do navio em componentes é
Passo 3
Explico a condição de acerto (essa é a ideia-chave): para que o torpedo atinja o navio, deve existir um tempo
tal que a posição do torpedo no tempo
seja igual à posição do navio no tempo
. Se
é a velocidade do torpedo (vetor), então
Reorganizando:
Isto diz que o vetor relativo
(velocidade do torpedo em relação ao navio) deve ter a mesma direção de
e módulo tal que multiplicado por
dá
.
Passo 4
Parametrizamos a direção do tiro do torpedo por um ângulo
medido a partir do leste, positivo para o norte. A velocidade do torpedo em componentes é
Substituindo na equação vetorial
e comparando componentes obtemos duas equações escalares:
Podemos eliminar
dividindo a segunda equação pela primeira (isso elimina o tempo e deixa só trigonometria em
):
Passo 5
Calcule o quociente do lado direito:
Assim obtemos
Dividindo numerador e denominador por
simplifica para
Multiplicando por
e por
resulta
Rearranjando:
Este tipo de equação linear em
e
pode ser reduzido a uma única função cosseno usando o método do fator de amplitude. Definimos
Então podemos escrever
Logo a equação vira
As soluções gerais são
. Fisicamente precisamos da solução em que o torpedo se dirige para frente e para norte/para sul de acordo com a posição do navio; lembre que, para que
tenha componente
positiva (já que
tem
), precisamos de
, ou seja
. Destas opções, a que cai nesse intervalo é
Interpretação: o torpedo deve ser lançado a aproximadamente
ao norte do leste.
Passo 6
Para dar uma forma exata (útil na prova) podemos encontrar
Substituindo
e eliminando
obtemos a equação quadrática
A raiz positiva (pois
está entre
e
) é
Usando a primeira equação podemos obter
Essas expressões conduzem ao valor numérico consistente
.]
Passo 7
Voltamos para calcular o tempo. Da segunda equação do Passo 4 temos
Substituindo a forma exata de
obtemos
Racionalizando o denominador:
Valor numérico:
Resposta
(a) Direção:
ao norte do leste.
(b) Tempo: