Um navio de guerra navega para leste a 25 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Um submarino a 5 km de distância dispara um torpedo que tem a velocidade escalar de 50 k m / h. Se a posição do navio, visto do submarino, está a 30^{\circ} nordeste. Determine:
(a) Em qual direção o torpedo deve ser lançado para acertar o navio;
(b) Qual o tempo decorrido até o torpedo alcançar o navio?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Dados fornecidos:
    • A velocidade do navio é 25\\ \mathrm{km/h} para leste.
    • O submarino está em um ponto fixo e, visto dele, o navio está a 5\\ \mathrm{km} de distância no rumo 30^\circ nordeste (interpreto como 30^\circ ao norte do leste).
    • A velocidade escalar do torpedo é 50\\ \mathrm{km/h}.
  • Perguntas:
    (a) Em qual direção (ângulo medido a partir do leste, positivo para norte) o torpedo deve ser lançado para acertar o navio?
    (b) Qual o tempo decorrido até o torpedo alcançar o navio?

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas simples: eixo x para leste e eixo y para norte. Colocamos o submarino na origem (0,0). Assim a posição inicial do navio (vetor \mathbf{r}_0) é
\mathbf{r}_0 = 5(\cos 30^\circ,\;\sin 30^\circ)=\Bigl(5\frac{\sqrt{3}}{2},\;5\frac{1}{2}\Bigr)=\Bigl(\frac{5\sqrt{3}}{2},\;2{,}5\Bigr).
A velocidade do navio em componentes é
\mathbf{v}_s=(25,\,0)\quad(\text{km/h}).

Passo 3

Explico a condição de acerto (essa é a ideia-chave): para que o torpedo atinja o navio, deve existir um tempo t>0 tal que a posição do torpedo no tempo t seja igual à posição do navio no tempo t. Se \mathbf{v}_t é a velocidade do torpedo (vetor), então
\mathbf{v}_t\,t = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v}_s\,t.
Reorganizando:
(\mathbf{v}_t-\mathbf{v}_s)\,t = \mathbf{r}_0.
Isto diz que o vetor relativo \mathbf{v}_t-\mathbf{v}_s (velocidade do torpedo em relação ao navio) deve ter a mesma direção de \mathbf{r}_0 e módulo tal que multiplicado por t \mathbf{r}_0.

Passo 4

Parametrizamos a direção do tiro do torpedo por um ângulo \theta medido a partir do leste, positivo para o norte. A velocidade do torpedo em componentes é
\mathbf{v}_t = 50(\cos\theta,\;\sin\theta).
Substituindo na equação vetorial (\mathbf{v}_t-\mathbf{v}_s)\,t=\mathbf{r}_0 e comparando componentes obtemos duas equações escalares:
50\cos\theta - 25 = \frac{5\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{t},
50\sin\theta = 2{,}5\cdot\frac{1}{t}.
Podemos eliminar 1/t dividindo a segunda equação pela primeira (isso elimina o tempo e deixa só trigonometria em \theta):
\frac{50\sin\theta}{50\cos\theta-25}=\frac{2{,}5}{\tfrac{5\sqrt{3}}{2}}.

Passo 5

Calcule o quociente do lado direito:
\frac{2{,}5}{\tfrac{5\sqrt{3}}{2}}=\frac{2{,}5\cdot 2}{5\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Assim obtemos
\frac{50\sin\theta}{50\cos\theta-25}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Dividindo numerador e denominador por 25 simplifica para
\frac{2\sin\theta}{2\cos\theta-1}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Multiplicando por (2\cos\theta-1) e por \sqrt{3} resulta
2\sqrt{3}\sin\theta = 2\cos\theta - 1.
Rearranjando:
2\cos\theta - 2\sqrt{3}\sin\theta = 1.
Este tipo de equação linear em \cos\theta e \sin\theta pode ser reduzido a uma única função cosseno usando o método do fator de amplitude. Definimos
A=2,\qquad B=-2\sqrt{3},\qquad R=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{4+12}=4.
Então podemos escrever
2\cos\theta - 2\sqrt{3}\sin\theta = 4\Bigl(\tfrac{1}{2}\cos\theta - \tfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta\Bigr)=4\cos(\theta+60^\circ).
Logo a equação vira
4\cos(\theta+60^\circ)=1\quad\Rightarrow\quad \cos(\theta+60^\circ)=\frac{1}{4}.
As soluções gerais são \theta+60^\circ=\pm\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)+360^\circ k. Fisicamente precisamos da solução em que o torpedo se dirige para frente e para norte/para sul de acordo com a posição do navio; lembre que, para que \mathbf{v}_t-\mathbf{v}_s tenha componente x positiva (já que \mathbf{r}_0 tem x>0), precisamos de \cos\theta>1/2, ou seja -60^\circ<\theta<60^\circ. Destas opções, a que cai nesse intervalo é
\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)-60^\circ \approx 15{,}5225^\circ.
Interpretação: o torpedo deve ser lançado a aproximadamente 15{,}52^\circ ao norte do leste.

Passo 6

Para dar uma forma exata (útil na prova) podemos encontrar \sin\theta\) e \(\cos\theta\) resolvendo o sistema \[\begin{cases} 2\cos\theta - 2\sqrt{3}\sin\theta = 1,\\[4pt] \cos^2\theta+\sin^2\theta=1. \end{cases}
Substituindo C=\cos\theta\] e \(S=\sin\theta e eliminando C obtemos a equação quadrática
16S^2 + 4\sqrt{3}\,S - 3 = 0.
A raiz positiva (pois \theta está entre 0^\circ e 60^\circ) é
\sin\theta = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{15}}{8}.
Usando a primeira equação podemos obter
\cos\theta = \frac{1+3\sqrt{5}}{8}.
Essas expressões conduzem ao valor numérico consistente \theta\approx15{,}5225^\circ.]

Passo 7

Voltamos para calcular o tempo. Da segunda equação do Passo 4 temos
50\sin\theta = \frac{2{,}5}{t}\quad\Rightarrow\quad t=\frac{2{,}5}{50\sin\theta}=\frac{1}{20\sin\theta}.
Substituindo a forma exata de \sin\theta obtemos
t=\frac{1}{20}\cdot\frac{8}{-\sqrt{3}+\sqrt{15}}=\frac{2}{5(-\sqrt{3}+\sqrt{15})}.
Racionalizando o denominador:
t=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{30}\\ \text{horas}.
Valor numérico:
t\approx 0{,}186834\\ \text{h}\approx 11{,}21\\ \text{minutos}.

Resposta

(a) Direção: \theta \approx 15{,}5225^\circ ao norte do leste.
(b) Tempo: t=\dfrac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{30}\\ \text{h}\approx 0{,}18683\\ \text{h}\approx 11{,}21\\ \text{min}.

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