Um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com a equação (unidades no SI):
Em
, qual é a aceleração?
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:\n\nTemos um movimento harmônico simples descrito por\n
Informações dadas:\n\n-
é o deslocamento em metros (unidades SI).\n- O coeficiente multiplicando o cosseno é a amplitude (em metros).\n- O argumento do cosseno contém
multiplicando
e uma fase inicial
.\n- Queremos a aceleração no instante
.\n\nPergunta clara: Calcular
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):\n\nUm movimento harmônico simples com deslocamento escrito como\n
tem as seguintes quantidades:\n\n-
é a amplitude (valor máximo do deslocamento), em metros.\n-
é a frequência angular, em rad/s.\n-
é a fase inicial, em radianos.\n\nPara obter a velocidade e a aceleração usamos derivadas em relação ao tempo. Regras usadas: derivada de
é
(regra da cadeia).\n\nAplicando isso:\n
\n
\n\nObservação útil (atalho): como
, temos também\n
ou seja, a aceleração é proporcional a
com fator
. Isso vem diretamente da segunda derivada acima.
Passo 3
Identificar os parâmetros no enunciado:\n\nDa expressão dada\n
\n\nextraímos:\n\n-
(metros).\n-
(rad/s).\n-
(radianos).\n- Queremos
em
.
Passo 4
Montar a expressão da aceleração e substituir parâmetros:\n\nUsando
, substituímos
,
e
:\n
\n\nSimplificando
:\n
\nlogo\n
Passo 5
Avaliar o argumento do cosseno em
e simplificar:\n\nCalcule o ângulo:\n
\n\nUsando periodicidade do cosseno (
para inteiro
), note que
é múltiplo de
(pois
). Portanto\n
Passo 6
Substituir o valor do cosseno na expressão da aceleração e simplificar exatamente:\n\nTemos\n
\n\nIsso é a forma exata, em unidades de
.
Passo 7
Fazer aproximação numérica (para ter um valor prático):\n\nUse
e
.\n\nCalcule o coeficiente:\n
\n\nMultiplicando por
:\n
\n\nPortanto\n
\n\nInterpretação curta: o sinal negativo indica que a aceleração está dirigida no sentido oposto ao deslocamento naquele instante (característica do MHS).