Um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com a equação (unidades no SI):
x(t)=(8,0) \cos [(2 \pi) \cdot t+(\pi / 4)]
Em t=3,0 s, qual é a aceleração?

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:\n\nTemos um movimento harmônico simples descrito por\n x(t)=(8,0)\cos\big[(2\pi)\cdot t+(\pi/4)\big]
Informações dadas:\n\n- \,x(t) é o deslocamento em metros (unidades SI).\n- O coeficiente multiplicando o cosseno é a amplitude (em metros).\n- O argumento do cosseno contém (2\pi) multiplicando t e uma fase inicial (\pi/4).\n- Queremos a aceleração no instante t=3{,}0\\ \mathrm{s}.\n\nPergunta clara: Calcular a(3{,}0\\ \mathrm{s}).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):\n\nUm movimento harmônico simples com deslocamento escrito como\n x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)
tem as seguintes quantidades:\n\n- A é a amplitude (valor máximo do deslocamento), em metros.\n- \omega é a frequência angular, em rad/s.\n- \varphi é a fase inicial, em radianos.\n\nPara obter a velocidade e a aceleração usamos derivadas em relação ao tempo. Regras usadas: derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u' (regra da cadeia).\n\nAplicando isso:\n v(t)=\frac{d}{dt}x(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)\n a(t)=\frac{d}{dt}v(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)\n\nObservação útil (atalho): como x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), temos também\n a(t)=-\omega^2 x(t),
ou seja, a aceleração é proporcional a -x(t) com fator \omega^2. Isso vem diretamente da segunda derivada acima.

Passo 3

Identificar os parâmetros no enunciado:\n\nDa expressão dada\n x(t)=(8,0)\cos\big[(2\pi)\cdot t+(\pi/4)\big]\n\nextraímos:\n\n- A=8{,}0 (metros).\n- \omega=2\pi (rad/s).\n- \varphi=\pi/4 (radianos).\n- Queremos a em t=3{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Montar a expressão da aceleração e substituir parâmetros:\n\nUsando \;a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)\;, substituímos A, \omega e \varphi:\n a(t) = -8{,}0\cdot(2\pi)^2\cos\big(2\pi t+\pi/4\big).\n\nSimplificando (2\pi)^2:\n (2\pi)^2 = 4\pi^2,\nlogo\n a(t) = -8{,}0\cdot 4\pi^2 \cos\big(2\pi t+\pi/4\big) = -32\pi^2\cos\big(2\pi t+\pi/4\big).

Passo 5

Avaliar o argumento do cosseno em t=3{,}0\\ \mathrm{s} e simplificar:\n\nCalcule o ângulo:\n 2\pi t + \pi/4 = 2\pi\cdot 3{,}0 + \pi/4 = 6\pi + \pi/4 = \frac{25\pi}{4}.\n\nUsando periodicidade do cosseno ( \cos(\theta+2\pi k)=\cos\theta para inteiro k), note que 6\pi é múltiplo de 2\pi (pois 6\pi=3\cdot 2\pi). Portanto\n \cos\big(6\pi+\pi/4\big)=\cos(\pi/4)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Substituir o valor do cosseno na expressão da aceleração e simplificar exatamente:\n\nTemos\n a(3{,}0)= -32\pi^2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = -16\sqrt{2}\,\pi^2.\n\nIsso é a forma exata, em unidades de \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

Fazer aproximação numérica (para ter um valor prático):\n\nUse \pi^2\approx 9{,}8696 e \sqrt{2}\approx 1{,}4142.\n\nCalcule o coeficiente:\n 16\sqrt{2}\approx 16\cdot 1{,}4142 = 22{,}6272.\n\nMultiplicando por \pi^2:\n 16\sqrt{2}\,\pi^2 \approx 22{,}6272 \cdot 9{,}8696 \approx 223{,}3.\n\nPortanto\n a(3{,}0)\approx -223{,}3\\ \mathrm{m/s^{2}}.\n\nInterpretação curta: o sinal negativo indica que a aceleração está dirigida no sentido oposto ao deslocamento naquele instante (característica do MHS).

Resposta

-16\sqrt{2}\,\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}} \approx -223{,}3\\ \mathrm{m/s^{2}}

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